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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Integração por Frações Parciais

Calcule as seguintes integrais indefinidas:

b ∫ 3 e x e x + 2 e 2 x + 2 e x + 3 d x

Passo 1

Cara, esses e x aí estão te gritando para substituí-los! Onde você já viu um negócio com tanta exponencial? Vamos lá então:

u = e x → d u = e x d x

∫ 3 e x e x + 2 e 2 x + 2 e x + 3 d x = 3 ∫ d u u + 2 u 2 + 2 u + 3

Aí temos o ( u + 2 ) , polinômio do primeiro grau irredutível, e o ( u 2 + 2 u + 3 ) , segundo grau irredutível. Vamos fazer frações parciais com essa expressão para depois integrar:

1 u + 2 u 2 + 2 u + 3 = A u + 2 + B u + C u 2 + 2 u + 3

1 u + 2 u 2 + 2 u + 3 = A u 2 + 2 u + 3 + B u + C u + 2 u + 2 u 2 + 2 u + 3

1 u + 2 u 2 + 2 u + 3 = A + B u 2 + 2 A + 2 B + C u + ( 3 A + 2 C ) u + 2 u 2 + 2 u + 3

A + B = 0 2 A + 2 B + C = 0 3 A + 2 C = 1

Resolvendo esse sistema aí você vai achar C = 0 ; A = 1 3 ; B = - 1 3 .

3 ∫ d u u + 2 u 2 + 2 u + 3 = 3 ∫ 1 3 u + 2 + - 1 3 u u 2 + 2 u + 3 d u

= ∫ 1 u + 2 + - u u 2 + 2 u + 3 d u

Ok, a primeira integral sai bem. A segunda vai precisar de umas mexidas diferentes.

Passo 2

Vou quebrar essa integral em duas. Talvez pareça aleatório, mas é tudo manha de questão de frações parciais. Repara, a derivada do termo debaixo é ( 2 u + 2 ) , certo? Se eu forçar isso a aparecer em cima, mantendo a igualdade, olha como fica:

∫ - u u 2 + 2 u + 3 d u ∫ - 1 2 2 u u 2 + 2 u + 3 d u = ∫ - 1 2 2 u + 2 - 2 u 2 + 2 u + 3 d u

= ∫ - 1 2 2 u + 2 + 1 u 2 + 2 u + 3 d u = ∫ - 1 2 2 u + 2 u 2 + 2 u + 3 d u + ∫ 1 u 2 + 2 u + 3 d u

A primeira sai por l n , né? A segunda é mais estranha, mas pode sair com umas modificadas embaixo, completando quadrado, assim, ó:

∫ 1 u 2 + 2 u + 3 d u = ∫ 1 u 2 + 2 u + 1 + 2 d u = ∫ 1 u + 1 2 + 2 d u

= ∫ 1 / 2 u + 1 2 2 + 1 d u

t = u + 1 2 → d t = d u 2 ,     d t 2 = d u 2

∫ 1 2 d u u + 1 2 2 + 1 = ∫ d t 2 t 2 + 1 = arctg ⁡ t 2 = arctg ⁡ u + 1 2 2

Passo 3

Beleza, então vamos voltar láaaa para a integral de antes:

∫ 1 u + 2 + - u u 2 + 2 u + 3 d u

= ∫ 1 u + 2 d u + ∫ - 1 2 2 u + 2 u 2 + 2 u + 3 d u + ∫ 1 u 2 + 2 u + 3 d u

= ln ⁡ u + 2 + - 1 2 ln ⁡ u 2 + 2 u + 3 + arctg ⁡ u + 1 2 2

Voltando a substituição de u = e x , matamos tudo:

ln ⁡ e x + 2 - 1 2 ln ⁡ e 2 x + 2 e x + 3 + arctg ⁡ e x + 1 2 2 + C

Resposta

ln ⁡ e x + 2 - 1 2 ln ⁡ e 2 x + 2 e x + 3 + arctg ⁡ e x + 1 2 2 + C

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