Calcule a integral
Passo 1
Temos a integral de uma divisão de polinômios, então vamos de frações parciais!
Primeiramente, repare que o polinômio é quadrático irredutível, pois o discriminante dele é negativo:
Então vamos ter:
Repara que aqui usei aquele macete de escrever a fração parcial correspondente a na forma
O que vai facilitar nossas contas mais pra frente. :)
Passo 2
Enfim, botando as frações parciais no mesmo denominador:
Passo 3
Comparando:
Obtemos o seguinte sistema:
Pela 1ª equação:
Substituindo na 2ª:
Usando isso na 3ª equação:
Assim,
Passo 4
Daí tiramos que
Ou seja:
Passo 5
A primeira integral sai direto:
Passo 6
Já pra segunda integral, vamos ter que dar uma manipulada:
Fazer uma substituição simples, aproveitando que tem um no numerador e um no denominador é uma opção tentadora, mas não vai dar certo. :/
Então vamos fazer o seguinte:
Está vendo pra onde isso está caminhando? Botando o em evidência no denominador:
Passo 7
Então temos
Fazendo a substituição
Também temos que escrever o “” que está na integral em função de :
Pronto! A integral ficou:
Passo 8
Vamos calcular essas novas integrais que apareceram:
Fazendo uma substituição
Vamos ter:
Passo 9
Já a outra integral é simplesmente:
Passo 10
Agora muita calma pra não se confundir. A gente fez um monte de coisa ao longo da questão, frações parciais, substituição, substituição da substituição...
Recapitulando aqui rapidinho:
Sendo que :
Usando essas integrais que calculamos agora a pouco, vai ficar:
Passo 11
Então, juntando tudo (até que enfim):
Como , podemos tirar o módulo do logaritmo:
Calma que ainda não acabou, temos que voltar pra variável ! Lembrando que
Então:
Aeee agora sim, acabou a questão! :)