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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 5f

Calcule a integral por frações parciais:

∫   x + 1 x ( x - 2 ) ( x + 3 ) d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de ∫   x + 1 x ( x - 2 ) ( x + 3 ) d x

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é calcular ∫   x + 1 x ( x - 2 ) ( x + 3 ) d x . Como podemos começar? O que vocês acham?

Primeiro, vamos separar nosso denominador para reescrever nossa integral da seguinte forma:

∫   x + 1 x ( x - 2 ) ( x + 3 ) d x =   ∫ A x + B x - 2 + C x + 3 d x  

Para isso iremos obter A   e   B   e   C   .

Passo 3

Queremos que:

x + 1 x ( x - 2 ) ( x + 3 ) = A x + B x - 2 + C x + 3  

então

x + 1 x ( x - 2 ) ( x + 3 ) = A ( x - 2 ) ( x + 3 ) x ( x - 2 ) ( x + 3 ) + B x ( x + 3 ) x ( x - 2 ) ( x + 3 ) + C x ( x - 2 ) x ( x - 2 ) ( x + 3 )  

desenvolvendo temos

x + 1   =   A x 2   + A x   - 6 A   +   B x 2     +   3 B x + C x 2     -   2 C x

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

A x 2 + B x 2   + C x 2   =   0 ⇒ A   +   B + C = 0

- 6 A   =   1 ⇒ A = - 1 / 6  

A + 3 B - 2 C   =   1

Ou seja, temos um sistema de equações em A   e   B   e   C . Vamos resolver!!!

A   +   B + C = 0

A = - 1 / 6  

A + 3 B - 2 C   =   1

Substituindo na primeira equação temos:

- 1 / 6   +   B + C = 0

⇒ B   =   1 / 6   -   C

Substituindo na terceira equação

- 1 / 6 + 3 ( 1 / 6   -   C ) - 2 C   =   1

⇒ - 1 / 6 + 1 / 2 - 3 C - 2 C   =   1

⇒ C =   - 2 / 15

⇒ B = 1 / 6   +   2 / 15

Agora que temos A   e   B   e   C podemos reescrever nossa integral!!!

Passo 4

Usando os valores de calculados no passo anterior temos:

∫ x + 1 x ( x - 2 ) ( x + 3 ) d x = ∫ A x + B x - 2 + C x + 3 d x  

(substituindo A e B e C)

= ∫ - 1 / 6 x + 1 / 6 + 2 / 15 x - 2 - 2 / 15 x + 3 d x

Mas essas integrais são manjadas. É o famoso l n , ou seja,

∫ - 1 / 6 x + 1 / 6 + 2 / 15 x - 2 - 2 / 15 x + 3 d x = - 1 6 l n ( x )   +   ( 1 6 + 2 15 ) l n ( x - 2 )   -   2 15 l n ( x + 3 )   +   k  

Juntando tudo obtemos

∫ x + 1 x ( x - 2 ) ( x + 3 ) d x   = ∫ - 1 / 6 x + 1 / 6 + 2 / 15 x - 2 - 2 / 15 x + 3 d x  

= - 1 6 l n ( x )   +   ( 1 6 + 2 15 ) l n ( x - 2 )   -   2 15 l n ( x + 3 )   +   k

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

x   +   3 2 l n ( x - 2 ) - 3 2 l n ( x + 2 )     + k

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