UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 11 – Integrais Impróprias – Questão 2 – Alternativa m)
Calcule:
Passo 1
Eaew, belezinha?
Para esta integral vai ser legal tentarmos simplificar o integrando de forma a identificar alguma coisa que é um pouco mais simples! Existem várias maneiras de fazer isso, mas, é uma boa ideia tentar inicialmente escrever o denominador do integrando como um produto de dois termos! Bora lá!
Passo 2
A primeira coisa a se notar é que:
De forma que nossa integral toma a forma:
Esse formato é bastante conveniente para a utilização do método de frações parciais! Bora fazer isso!
Passo 3
O nosso denominador é um produto de um polinômio de primeiro grau e outro de segundo grau, portanto podemos reescrevê-lo como:
Em que é um polinômio de grau zero e é um polinômio de primeiro grau. Vamos fazer o MMC do lado direito da equação acima, obtendo:
Note que o lado esquerdo e o lado direito têm o mesmo denominador, portanto, para a equação ser verdade, os numeradores devem ser iguais, ou seja:
Bora utilizar essa expressão para achar nossas constantes!
Passo 4
Para que a igualdade seja verdadeira, os coeficientes do e em ambos os lados da equação devem ser iguais, assim como os termos constantes, temos então que:
Também temos que
E
Portanto, temos que . Desta forma, nossa integral toma a seguinte forma:
Vamos tentar resolver isso agora que estão um pouquinho mais simples! Bora lá!
Passo 5
Mas antes disso, vamos brincar um pouquinho com a terceira integral! Se lembrarmos que:
Temos que o denominador toma a forma:
Novamente, separamos em frações parciais, e como o denominar é produto de dois polinômios de primeiro grau, é necessário considerar duas constantes no numerador. Fazendo agora o MMC, temos:
E é necessário obedecer a seguinte igualdade:
As constantes, devem então obedecer a um sistema tal qual:
E
Ou seja, e e . De forma que a terceira integral tem a forma:
Ainda precisamos reescrever isso mais um pouco! Vamos com calma, que uma hora a gente chega lá!
Passo 6
Vamos usar a seguinte relação:
De forma, que podemos identificar que:
Que é exatamente o nosso denominador, deixando a nossa integral como:
E como temos que:
Nossa integral toma a forma:
Expandindo alguns termos, temos que:
Quase lá, eu prometo! Mais uma coisinha antes de voltarmos para nossa integral!
Passo 7
Temos que as integrais com o no denominador ainda são problemáticas! Mas elas são mais simples de resolver! Saca só:
De forma que:
Simplificando alguns termos:
Algumas coisas podem cortar ou se somar, vamos fazer isso:
Temos que:
De forma que:
Portanto, temos que:
Meu Deus... Finalmente, aleluia senhor.... Vamos voltar isso na nossa equação (1).
Passo 8
Temos que:
Temos então as seguintes integrais:
Usando todas estas identificações, temos:
E essa é a nossa resposta final! A questão acabou... te vejo na próxima! Tchauzinho!