Calcule:

m )   ∫ x 4 + x 2 + 1 x 3 - x d x

Passo 1

Eaew, belezinha?

Para esta integral vai ser legal tentarmos simplificar o integrando de forma a identificar alguma coisa que é um pouco mais simples! Existem várias maneiras de fazer isso, mas, é uma boa ideia tentar inicialmente escrever o denominador do integrando como um produto de dois termos! Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa a se notar é que:

x 3 - x = x ( x 2 - 1 )

De forma que nossa integral toma a forma:

∫ x 4 + x 2 + 1 x 3 - x d x = ∫ x 4 + x 2 + 1 x ( x 2 - 1 ) d x

Esse formato é bastante conveniente para a utilização do método de frações parciais! Bora fazer isso!

Passo 3

O nosso denominador é um produto de um polinômio de primeiro grau e outro de segundo grau, portanto podemos reescrevê-lo como:

1 x ( x 2 - 1 ) = A x + B x + C x 2 - 1

Em que A é um polinômio de grau zero e B x + C é um polinômio de primeiro grau. Vamos fazer o MMC do lado direito da equação acima, obtendo:

1 x ( x 2 - 1 ) = A x + B x + C x 2 - 1 = A x 2 - 1 + ( B x + C ) x x ( x 2 - 1 )

Note que o lado esquerdo e o lado direito têm o mesmo denominador, portanto, para a equação ser verdade, os numeradores devem ser iguais, ou seja:

1 = A x 2 - 1 + ( B x + C ) x  

Bora utilizar essa expressão para achar nossas constantes!

Passo 4

Para que a igualdade seja verdadeira, os coeficientes do x e x 2 em ambos os lados da equação devem ser iguais, assim como os termos constantes, temos então que:

A + B = 0

Também temos que

C = 0

E

- A = 1

Portanto, temos que B = 1 . Desta forma, nossa integral toma a seguinte forma:

∫ x 4 + x 2 + 1 x ( x 2 - 1 ) d x = ∫ x 4 + x 2 + 1 x d x + ∫ x 4 + x 2 + 1 x 2 - 1 d x = ∫ x 3 d x + ∫ x d x + ∫ 1 x d x + ∫ x 4 + x 2 + 1 x 2 - 1 d x             ( 1 )

Vamos tentar resolver isso agora que estão um pouquinho mais simples! Bora lá!

Passo 5

Mas antes disso, vamos brincar um pouquinho com a terceira integral! Se lembrarmos que:

x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 )

Temos que o denominador toma a forma:

1 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = A x - 1 + B x + 1

Novamente, separamos em frações parciais, e como o denominar é produto de dois polinômios de primeiro grau, é necessário considerar duas constantes no numerador. Fazendo agora o MMC, temos:

1 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = A x - 1 + B x + 1 = A x + 1 + B ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )

E é necessário obedecer a seguinte igualdade:

1 = A x + 1 + B ( x - 1 )

As constantes, devem então obedecer a um sistema tal qual:

A + B = 0

E

A - B = 1

Ou seja, A = - B e - B - B = 1 → - 2 B = 1 → B = - 1 / 2 e A = 1 / 2 . De forma que a terceira integral tem a forma:

∫ x 4 + x 2 + 1 x 2 - 1 d x = 1 2 ∫ x 4 + x 2 + 1 ( x - 1 ) d x - 1 2 ∫ x 4 + x 2 + 1 ( x + 1 ) d x

Ainda precisamos reescrever isso mais um pouco! Vamos com calma, que uma hora a gente chega lá!

Passo 6

Vamos usar a seguinte relação:

x 2 - 1 2 = x 4 - 2 x 2 + 1

De forma, que podemos identificar que:

x 2 - 1 2 + 3 x 2 = x 4 - 2 x 2 + 1 + 3 x 2 → x 2 - 1 2 + 3 x 2 = x 4 + x 2 + 1

Que é exatamente o nosso denominador, deixando a nossa integral como:

1 2 ∫ x 4 + x 2 + 1 ( x - 1 ) d x - 1 2 ∫ x 4 + x 2 + 1 x + 1 d x = 1 2 ∫ x 2 - 1 2 + 3 x 2 ( x - 1 ) d x - 1 2 ∫ x 2 - 1 2 + 3 x 2 ( x + 1 ) d x

E como temos que:

x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 )

Nossa integral toma a forma:

1 2 ∫ x 2 - 1 2 + 3 x 2 ( x - 1 ) d x - 1 2 ∫ x 2 - 1 2 + 3 x 2 x + 1 d x = 1 2 ∫ x + 1 2 x - 1 2 + 3 x 2 x - 1 d x - 1 2 ∫ x + 1 2 x - 1 2 + 3 x 2 x + 1 d x

Expandindo alguns termos, temos que:

1 2 ∫ x + 1 2 x - 1 2 + 3 x 2 x - 1 d x - 1 2 ∫ x + 1 2 x - 1 2 + 3 x 2 x + 1 d x = 1 2 ∫ x + 1 2 ( x - 1 ) d x + 3 2 ∫ x 2 x - 1 d x - 1 2 ∫ x - 1 2 ( x + 1 ) d x - 3 2 ∫ x 2 x + 1 d x  

Quase lá, eu prometo! Mais uma coisinha antes de voltarmos para nossa integral!

Passo 7

Temos que as integrais com o x 2 no denominador ainda são problemáticas! Mas elas são mais simples de resolver! Saca só:

x 2 - 1 + 1 = x 2 → x - 1 x + 1 + 1 = x 2

De forma que:

1 2 ∫ x + 1 2 ( x - 1 ) d x + 3 2 ∫ x 2 x - 1 d x - 1 2 ∫ x - 1 2 ( x + 1 ) d x - 3 2 ∫ x 2 x + 1 d x   = 1 2 ∫ x + 1 2 ( x - 1 ) d x + 3 2 ∫ x - 1 x + 1 + 1 x - 1 d x - 1 2 ∫ x - 1 2 ( x + 1 ) d x - 3 2 ∫ x - 1 x + 1 + 1 x + 1 d x  

Simplificando alguns termos:

1 2 ∫ x + 1 2 ( x - 1 ) d x + 3 2 ∫ x - 1 x + 1 + 1 x - 1 d x - 1 2 ∫ x - 1 2 ( x + 1 ) d x - 3 2 ∫ x - 1 x + 1 + 1 x + 1 d x = 1 2 ∫ x + 1 2 ( x - 1 ) d x + 3 2 ∫ x + 1 + 3 2 ∫ 1 x - 1 d x - 1 2 ∫ x - 1 2 ( x + 1 ) d x - 3 2 ∫ x - 1 d x - 3 2 ∫ 1 x + 1 d x

Algumas coisas podem cortar ou se somar, vamos fazer isso:

1 2 ∫ x + 1 2 ( x - 1 ) d x + 3 2 ∫ x + 1 + 3 2 ∫ 1 x - 1 d x - 1 2 ∫ x - 1 2 x + 1 d x - 3 2 ∫ x - 1 d x - 3 2 ∫ 1 x + 1 d x = 1 2 ∫ [ x + 1 2 x - 1 - x - 1 2 ( x + 1 ) ] d x + 3 ∫ d x + 3 2 ∫ 1 x - 1 d x - 3 2 ∫ 1 x + 1 d x

Temos que:

x + 1 2 x - 1 - x - 1 2 x + 1 = x 3 + x 2 - x - 1 - x 3 - x 2 - x + 1 = 2 x 2 - 2

De forma que:

1 2 ∫ [ x + 1 2 x - 1 - x - 1 2 ( x + 1 ) ] d x + 3 ∫ d x + 3 2 ∫ 1 x - 1 d x - 3 2 ∫ 1 x + 1 d x = ∫ x 2 d x + 2 ∫ d x + 3 2 ∫ 1 x - 1 d x - 3 2 ∫ 1 x + 1 d x

Portanto, temos que:

∫ x 4 + x 2 + 1 ( x + 1 ) d x = ∫ x 2 d x + 2 ∫ d x + 3 2 ∫ 1 x - 1 d x - 3 2 ∫ 1 x + 1 d x

Meu Deus... Finalmente, aleluia senhor.... Vamos voltar isso na nossa equação (1).

Passo 8

Temos que:

∫ x 3 d x + ∫ x d x + ∫ 1 x d x + ∫ x 4 + x 2 + 1 x 2 - 1 d x = ∫ x 3 d x + ∫ x d x + ∫ 1 x d x + ∫ x 2 d x + 2 ∫ d x + 3 2 ∫ 1 x - 1 d x - 3 2 ∫ 1 x + 1 d x

Temos então as seguintes integrais:

∫ x 3 d x = x 4 4 + C 1

∫ x d x = x 2 2 + C 2

∫ 1 x d x = ln ⁡ ( x ) + C 3

∫ x 2 d x = x 3 3 + C 4  

∫ d x = x + C 5

∫ 1 x - 1 d x = ln ⁡ x - 1 + C 6

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ ( x + 1 ) + C 7

Usando todas estas identificações, temos:

∫ x 4 + x 2 + 1 x 3 - x d x = x 4 4 + x 3 3 + x 2 2 + x + ln ⁡ x + 3 2 ln ⁡ x - 1 - 3 2 ln ⁡ ( x + 1 ) + C

E essa é a nossa resposta final! A questão acabou... te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

∫ x 4 + x 2 + 1 x 3 - x d x = x 4 4 + x 3 3 + x 2 2 + x + ln ⁡ x + 3 2 ln ⁡ x - 1 - 3 2 ln ⁡ ( x + 1 ) + C

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