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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Passo 1

Vamos pegar esse termo que a gente quer integrar e abrir por frações parciais:

x 2 + x - 4 2 x + 1 x 2 + 4 = A 2 x + 1 + B x + C x 2 + 4

= A x 2 + 4 2 x + 1 x 2 + 4 + B x + C 2 x + 1 2 x + 1 x 2 + 4 = A x 2 + 4 A + 2 B x 2 + B x + 2 C x + C 2 x + 1 x 2 + 4

= A + 2 B x 2 + B + 2 C x + 4 A + C 2 x + 1 x 2 + 4

Igualando esse termo com o que queremos integrar, teremos um sistema gerado pela igualdade de cada potência de x :

A + 2 B x 2 + B + 2 C x + 4 A + C 2 x + 1 x 2 + 4 = x 2 + x - 4 2 x + 1 x 2 + 4

A + 2 B = 1 B + 2 C = 1 4 A + C = - 4

Resolvendo isso, a gente vai achar o seguinte:

A = - 1       ;       B = 1       ;       C = 0

Passo 2

Voltando à integral, teremos:

∫ x 2 + x - 4 2 x + 1 x 2 + 4 d x = ∫ - d x 2 x + 1 + x   d x x 2 + 4

A primeira integral sai por substituição:

u = 2 x + 1       ;       2 d x = d u   →     - d x = - d u 2

∫ - d x 2 x + 1 = ∫ - d u 2 u = - ln ⁡ u 2

= - ln ⁡ 2 x + 1 2

Passo 3

A segunda integral também sai por substituição:

t = x 2 + 4       ;       2 x   d x = d t   →     x   d x = d t 2

∫ x   d x x 2 + 4 = ∫ d t 2 t = ln ⁡ t 2

= ln ⁡ x 2 + 4 2

Passo 4

Assim, a integral fica,

∫ - d x 2 x + 1 + x   d x x 2 + 4 = - ln ⁡ 2 x + 1 2 + ln ⁡ x 2 + 4 2 + C

Por se tratar de um problema envolvendo uma integral definida, temos:

∫ 0 1 - d x 2 x + 1 + x   d x x 2 + 4 = - ln ⁡ 2 x + 1 2 + ln ⁡ x 2 + 4 2 0 1 =

= - ln ⁡ 2   .   1 + 1 2 + ln ⁡ 1 2 + 4 2 - - ln ⁡ 2   .   0 + 1 2 + ln ⁡ 0 2 + 4 2 =

= ln ⁡ 5 - ln ⁡ 3 + ln ⁡ 1 - ln ⁡ 4 2 = 1 2 ln ⁡ 5 12

Resposta

∫ 0 1 - d x 2 x + 1 + x   d x x 2 + 4 d x = 1 2 ln ⁡ 5 12

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