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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Questão 2) Calcule as seguintes integrais:

b)

∫ x + 2 x 3 - 9 x 2 + 20 x d x

Passo 1

Hummm, que integral interessante! Temos uma fração de polinômios onde o grau do denominador é maior que o grau do polinômio do nominador... Ora, integração por frações parciais :D

Antes de encontrar as frações parciais, vamos só fazer uma coisinha aqui...

∫ x + 2 x 3 - 9 x 2 + 20 x d x = ∫ x + 2 x x 2 - 9 x + 20 d x       →

Colocando essa equação do segundo grau em forma de um produto (completando quadrado):

∫ x + 2 x x 2 - 9 x + 20 d x = ∫ x + 2 x x - 5 x - 4 d x

Sacou? Colocamos em função de produto, pois pra fração parcial precisamos disso.

Passo 2

Vamos então buscar as tais frações parciais, que nesse caso pela teoria, como temos um termo do primeiro grau elevado a uma potência, devem ser essas três funções aqui:

x + 2 x x - 5 x - 4 = A x + B x - 5 + C x - 4

Veja que o nosso maior trabalho então é basicamente descobrir quem é esse A , B e C . Então vem comigo!

Passo 3

Tirando o " M M C " desses denominadores, lembrando que o M M C de funções é basicamente o produto deles...

A x + B x - 5 + C x - 4 =   x x - 5 x - 4 =

Para encontrar o nominador, basta seguir o processo normal de soma de fração, ou seja, divide o M M C pelo de baixo e multiplica pelo de cima...

A x + B x - 5 + C x - 4 = A x - 5 x - 4 + B x x - 4 + C x x - 5 x x - 5 x - 4 =

Como

x + 2 x x - 5 x - 4 = A x + B x - 5 + C x - 4

Então...

x + 2 x x - 5 x - 4 = A x - 5 x - 4 + B x x - 4 + C x x - 5 x x - 5 x - 4

Cortando os denominadores que são exatamente iguais (e sempre deverão ser ;):

x + 2 = A x - 5 x - 4 + B x x - 4 + C x x - 5   →

x + 2 = A x 2 - 9 x + 20 + B x 2 - 4 B x + C x 2 - 5 C x →

x + 2 = A x 2 - 9 A x + 20 A + B x 2 - 4 B x + C x 2 - 5 C x →

Reagrupando esse lado direito colocando em ordem...

x + 2 = A + B + C x 2 + - 9 A - 4 B - 5 C x + 20 A →

Veja que por igualdade de polinômio, podemos afirmar que...

20 A = 2 - 9 A - 4 B - 5 C = 1 A + B + C = 0       ⇒

A = 1 10       e n t ã o

  - 9 10 - 4 B - 5 C = 1 1 10 + B + C = 0

1 10 + B + C = 0         →             B = - 1 10 - C

- 9 10 - 4 B - 5 C = 1                     →         - 9 10 - 4 - 1 10 - C - 5 C = 1       →

- 9 10 + 4 10 + 4 C - 5 C = 1         →       - 1 2 - C = 1   →

C = - 3 2

Então o B será...

B = - 1 10 + 3 2 = 7 5

Logo...

x + 2 x x - 5 x - 4 = A x + B x - 5 + C x - 4     →

x + 2 x x - 5 x - 4 = 1 10 x + 7 5 x - 5 - 3 2 x - 4

∫ x + 2 x x - 5 x - 4 d x = ∫ 1 10 x + 7 5 x - 5 - 3 2 x - 4 d x

Agora é só calcular essas integrais. Veja só!

Passo 4

∫ x + 2 x x - 5 x - 4 d x = 1 10 ∫ 1 x d x + 7 5 ∫ 1 x - 5 d x - 3 2 ∫ 1 x - 4 d x =

1 10 ln ⁡ x + 7 5 ln ⁡ x - 5 - 3 2 ln ⁡ x - 4 + C

Resposta

1 10 ln ⁡ x + 7 5 ln ⁡ x - 5 - 3 2 ln ⁡ x - 4 + C

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