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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

USP – Cálculo 3 – Revisão de Integrais – Lista 0 – Questão 41

Calcule as integrais indefinidas abaixo

41 .   ∫ 3 x 2 + 4 x + 5 x - 1 2 ( x - 2 ) d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ 3 x 2 + 4 x + 5 x - 1 2 ( x - 2 ) d x

Mas como resolver ela?

Quando temos uma razão de polinômios e o grau do denominador é maior do que o grau do numerador usamos a técnica de: frações parciais!

Depois de separar em frações menores aí sim vamos integrar!

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar separando em denominadores cujos fatores são os do denominador! Mas temos um fator de multiplicidade dois, então esse vamos separar em dois fatores (nas suas duas potências)

3 x 2 + 4 x + 5 x - 1 2 ( x - 2 ) = A x - 1 + B x - 1 2 + C x - 2

E agora vamos fazer o m m c

= A x - 1 x - 2 + B x - 2 + C x - 1 2 x - 1 2 ( x - 2 )

Fazendo os produtos notáveis e organizando os termos de mesmo grau temos

x 2 A + C + x - 5 A + B - 2 C + ( 3 A - 2 B + C ) x - 1 2 ( x - 2 )

Beleza?

Agora é só igualar os coeficientes dos termos de mesma ordem! Ficamos com um sistema triplo:

= A + C = 3 - 5 A + B - 2 C = 4 3 A - 2 B + C = 5

A , B , C :

A = - 22

B = - 12

C = + 2 5

E nossa integral vira três!

∫ 3 x 2 + 4 x + 5 x - 1 2 ( x - 2 ) d x = - 22 ∫ d x x - 1 - 12 ∫ d x x - 1 2 + 2 5 ∫ d x x - 2

Passo 3

Agora vamos integrar!

- 22 ∫ d x x - 1 - 12 ∫ d x x - 1 2 + 2 5 ∫ d x x - 2

= - 22 ln ⁡ x - 1 - 12 x - 1 - 1 - 1 + 2 5 ln ⁡ x - 2 + C

= - 22 ln ⁡ x - 1 + 12 x - 1 + 25 ln ⁡ x - 2 + C

Não esquece de colocar o + C no final!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

- 22 ln ⁡ x - 1 + 12 x - 1 + 25 ln ⁡ x - 2 + C

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