UFRJ. Cálculo 1. Prova P2. 2022.1. Questão 1d.
1) Calcule as integrais.
d)
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Foi dada uma integral cuja função de integração é dada por .
Nosso objetivo é calcular o resultado dessa integral. Topa fazer comigo? 😁
Como podemos obter essa integral? 🤔🤔
Perceba que nossa função de integração é dada pela fração entre dois polinômios. Nesses casos, é muito comum usarmos a técnica de reescrever a função de integração a partir de suas frações parciais.
Bora seguir por esse caminho! 😉
Passo 2
Antes, temos que fatorar o polinômio do denominador . Sabemos que temos algo parecido com , igualando os dois...
Calculando a distributiva , temos
Por igualdade de polinômios, vemos que e , então quais são os valores de e dado que a soma resulta em e o produto em ?
Se e , nosso problema é satisfeito, não é? Então
Substituindo na função de integração
Separando essa fração em frações parciais, temos
Calculando o MMC do lado direito...
Simplificando a igualdade
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Calculando a distributiva de e na equação, vamos obter
Portanto, por igualdade de polinômios, vemos que
Isolando na primeira equação
Substituindo na segunda equação...
Se , logo
Com isso, descobrimos que podemos reescrever a função de integração dada no enunciado como
Dessa forma, nossa integral pode ser reescrita como
Como a integral da soma é igual a soma das integrais...
Podemos tirar as constantes e para fora da integral, resultando em
Bacana, não é? 🤩
Passo 4
Só nos resta calcular essas integrais, não é?
Lembrando lá do teorema fundamental do cálculo, a integral de uma função do tipo resulta em , lembra disso? Portanto...
Substituindo esses resultados, temos
Organizando um pouquinho...
E assim chegamos no resultado da integral que tínhamos que calcular!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
