Obtenha uma primitiva (integral indefinida) para a função racional
que satisfaz a condição .
Sugestão: Escreva na forma
Passo 1
Aqui a questão já deu de graça qual método usar: frações parciais.
Seguindo a sugestão, vamos escrever
Botando tudo no mesmo denominador, fica
Passo 2
Igualando:
Caímos num sistema:
Pela última equação, temos . Substituindo na 3ª:
Assim, pela 1ª equação, temos .
E pra terminar, usamos a 2ª equação:
Portanto, podemos escrever a função assim:
Passo 3
E nós queremos calcular a primitiva
Passo 4
Vamos por etapas. Primeiramente:
Vou deixar pra botar a constante de integração lá no fim da questão, beleza?
Passo 5
A segunda integral também é tranquila:
Passo 6
A última vai ser um pouco mais trabalhosa:
Repara aqui comigo: o numerador tá com mó cara que é a derivada do denominador, não?
Vamos ver isso aí:
Ah então na verdade o numerador é menos a derivada do denominador. De qualquer forma isso é excelente pra gente fazer uma substituição simples!
Então a integral vai ficar:
Passo 7
Juntando as três integrais, e acrescentando a constante de integração:
Se você quiser deixar a resposta mais limpa, dá pra aproveitar as propriedades do logaritmo
Aí fica:
E na verdade podemos até tirar esse módulo, porque o que está dentro do logaritmo é positivo:
Então
Passo 8
Mas calma que ainda não acabou! A questão deu a condição
Ou seja:
Como , obtemos
Pronto, agora sim acabou! A resposta final é