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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 5b

Calcule a integral por frações parciais:

∫   x x 2 - 5 x   +   6 d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de ∫   x x 2 - 5 x   +   6 d x

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é calcular ∫   x x 2 - 5 x   +   6 d x .Como podemos começar? O que vocês acham?

Vamos lembrar que x 2   - 5 x   +   6   =   ( x - 3 ) ( x - 2 ) . Será que podemos reescrever a nossa integral da seguinte forma?

∫   x x 2 - 5 x + 6 d x   =   ∫   A x - 3 d x   +     ∫   B x - 2 d x

Podemos sim!!! Vamos obter esse A   e   B

Passo 3

Queremos que:

x x 2 - 5 x + 6 = A x - 3   + B x - 2  

então

x x 2 - 5 x + 6 = A ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )   + B ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x - 2 )  

desenvolvendo temos

x   =   A x   -   2 A   +   B x   -   3 B

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

A x   +   B x   =   x ⇒ A   +   B   =   1

- 2 A - 3 B   =   0

Ou seja, temos um sistema de equações em A   e   B . Vamos resolver!!!

A   + B = 1

- 2 A - 3 B   =   0

Da primeira equação obtemos:

A = 1 - B

Substituindo na segunda equação temos:

- 2 ( 1 - B ) - 3 B   =   0

⇒ - 2   + 2 B - 3 B   =   0

⇒ B   =   - 2

⇒ A   =   3

Agora que temos A   e   B podemos reescrever nossa integral!!!

Passo 4

Usando os valores de calculados no passo anterior temos:

∫   x x 2 - 5 x + 6 d x   =   ∫   A x - 3 d x   +     ∫   B x - 2 d x

= ∫   3 x - 3 d x + ∫   - 2 x - 2 d x

mas essas integrais são conhecidas, é o famoso ln!!! Então:

∫   x x 2 - 5 x + 6 d x   = 3 l n ( x - 3 )   -   2 l n ( x - 2 )   +   k

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

3 l n ( x - 3 )   -   2 l n ( x - 2 )   +   k

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