1a) Calcule as primitivas abaixo:
Passo 1
A primeira coisa a se fazer pra calcular essa integral é olhar bem pro fundo dos olhos dela e perguntar: o que é você? Bem, se ela não mentiu pra você, ela vai dizer: sou um polinômio dividido por outro de grau superior! Opa, então isso da uma ideia: frações parciais! Veja só:
Então vamos tentar reescrever a integral do enunciado como uma soma de integrais como a acima, que aí a resolução sai direto, beleza? Bora lá:
Passo 2
O truque vai ser olhar pro denominador. Saca só:
Pô, temos uma polinômio de segundo grau multiplicado por ! Se fizermos Bháskara nele, tere,os então:
Seja:
Vamos ter as seguintes raízes:
E logo, reescrevemos o polinômio para:
E a integral vira:
Pelo método das frações parciais, podemos separar essa integral em duas então:
Como a resolução é direta, vamos ter então:
O truque então vai ser achar quem são as constantes .
Passo 3
Pra achar as constantes, vamos esquecer a integral um pouco e ver a função dentro dela só:
Bora por tudo no mesmo denominador pra podermos cortar ele. Vamos ter:
Tirando o denominador então:
E fazendo a distributiva:
Igualando os termos em colchetes:
A última linha, tiramos:
Substituindo nas outras duas e multiplicando a segunda por , ficamos com:
Multiplicando a primeira linha por :
Somando as duas linhas
Substituindo então achamos:
Fechamos então os valores das constantes, que serão:
E acabamos! O resultado da integral vai ser:
Mas não se esqueça de por a constante de integração em!