Um aluno escreveu na prova
1. Sem calcular a integral, mostre que a resposta está errada.
2. Calcule a integral corretamente.
Passo 1
1. Ele quer que a gente prove que a função
NÃO é a primitiva de
Ser primitiva significa que derivando a gente chegaria em . Então, o que a gente precisa provar é que
Vem!
Passo 2
Vamos derivar :
Usando a regra da cadeia, já que temos o log e uma função dentro do log. Aí a gente vai derivar a função de fora (o log) no ponto da função de dentro, e multiplicar isso pela derivada da função de dentro.
Aquele a gente só repete, porque ele é uma constante:
Percebe que isso é diferente de
Então provamos que o aluno errou ali, beleza?
Passo 3
2. Agora a gente tem que acertar!
Olha, temos uma divisão entre dois polinômios. Um NÃO é derivada do outro. Sabe o que essas coisas querem dizer? Vamos ter que usar frações parciais. Respira e vem comigo!
Para começar a usar frações parciais a gente precisa ter uma fração onde o grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Isso já acontece ali
Vamos começar reescrevendo esse denominador como um produto de polinômios. Podemos começar isolando :
Nossa integral fica assim
Passo 4
Usar frações parciais é fazer esse integrando virar uma soma de funções tranquilas de integrar assim:
Repara que a expressão acima de é só , porque ele é um termo de grau 1, e o mesmo acontece para .
Vamos então descobrir , e , igualando a fração antiga com a nossa nova soma de frações. Partindo daqui:
Passo 5
A gente multiplica esse termo pelo denominador do outro termo. Aí faz o mesmo para :
Fazendo a distributiva:
Agora a gente faz um sisteminha. Temos o termo sozinho (sem ) do lado esquerdo, e do lado direito temos o . Podemos igualar esses dois caras:
Fazendo o mesmo só para os termos multiplicados por em cada lado. Na esquerda a gente não tem ninguém, então coloca . E na direita tem e :
Vimos que :
Como todas essas letrinhas achadas finalmente, a gente reescreve nossa integral:
Passo 6
Agora a gente resolve essa bonita:
Essa primeira integral tem primitivas direta.
Falta só resolver essa integral bonita que ficou ali, né?
Fazendo a substituição :
Substituindo nossos resultados:
Não esquecendo ali da constante, já que temos uma integral indefinida!