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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Questão 2) Calcular as seguintes integrais:

a)

∫ 1 x x - 1 x + 3 d x

Passo 1

Bem, queremos calcular uma integral que um monte de raiz de x . Ora, então podemos fazer uma integração por uma mudança de variável simples:

x = a     →

Derivando para obter o d a

d a = 1 2 x d x

Note que d x / x é algo que temos, então podemos substituir se...

d x x = 2 d a

∫ 1 x x - 1 x + 3 d x = ∫ 2 a - 1 a + 3 d a

Sacou? Trocamos uma integral que era mais chata, pois tinha raízes por outra menos pior :D

Passo 2

Melhor, mas não é nada legal. Afinal teremos que integrar por frações parciais (particularmente odeio esse método kkkk).

∫ 2 a - 1 a + 3 d a = 2 ∫ 1 a - 1 a + 3 d a

Vamos encontrar as frações parciais então.

Passo 3

Pela teoria...

1 a - 1 a + 3 = A a - 1 + B a + 3

Para determinar A e B , somemos as frações tirando o M M C e tudo mais (lembrando que MMC de expressões que não conhecemos é o produto simplesmente):

A a - 1 + B a + 3 = A a + 3 + B a - 1 a - 1 a + 3

Igualando a...

1 a - 1 a + 3 = A a + 3 + B a - 1 a - 1 a + 3

Como o denominador é o mesmo, podem sair do jogo...

1 = A a + 3 + B a - 1     →

1 = A a + 3 A + B a - B   →

a é variável (que trocamos o x ) e A é uma constante que queremos descobrir. Não se esqueça disso heim!

1 = A + B a + 3 A - B

Por igualdade de polinômio...

A + B = 0 3 A - B = 1     ⇒

A = - B

3 - B - B = 1       →         - 4 B = 1           →               B = - 1 4

A = 1 4

Passo 4

Logo, voltando para a integral...

2 ∫ 1 a - 1 a + 3 d a = 2 ∫ A a - 1 + B a + 3 d a

2 ∫ 1 4 1 a - 1 - 1 4 1 a + 3 d a =

2 ⋅ 1 4 ∫ 1 a - 1 - 1 a + 3 d a =

Integrando...

1 2 ln ⁡ a - 1 - ln ⁡ a + 3 + C =

Por propriedade de logaritmos...

1 2 ln ⁡ a - 1 a + 3 + C

Passo 5

Voltando para a variável x original...

a = x

∫ 1 x x - 1 x + 3 d x = 1 2 ln ⁡ x - 1 x + 3 + C

Resposta

1 2 ln ⁡ x - 1 x + 3 + C

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