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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 7b

Calcule a integral por frações parciais:

∫   2 x 2 + x + 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 9 ) d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de ∫   2 x 2 + x + 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 9 ) d x

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é calcular ∫   2 x 2 + x + 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 9 ) d x . Como podemos começar calcular essa integral? O que vocês acham?

Primeiro, vamos escrever 2 x 2 + x + 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 9 ) da seguinte forma:

2 x 2 + x + 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 9 ) = A x + 1 + B + C x ( x 2 + 9 )

Para isso iremos obter A   e   B   e   C   . Temos:

2 x 2 + x + 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 9 ) = A x + 1 + B   + C x ( x 2 + 9 )

desenvolvendo

2 x 2 + x + 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 9 ) = A ( x 2 + 9 ) ( x + 1 ) ( x 2 + 9 ) + ( B + C x ) ( x + 1 ) ( x 2 + 9 ) ( x + 1 )

Abrindo o produto

2 x 2 + x + 1 = A x 2 + 9 A +   B x   +   B   +   C x 2 + C x

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

A x 2 + C x 2 =   2 x 2 ⇒ A + C   = 2

9 A + B = 1

B x   + C x   =   x ⇒   B + C = 1

Ou seja, temos um sistema de equações em A   e   B   e   C . Vamos resolver!!!

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações em A   e   B   e   C que montamos no passo anterior

A + C   = 2

9 A + B = 1

B + C = 1

Subtraindo a primeira da terceira equação temos:

B - A = - 1

⇒ B = - 1 + A

Substituindo esse resultado na segunda equação

9 A   - 1   + A   =   1

⇒ 10 A   =   2

⇒ A = 1 / 5

Substituindo nas demais equações chegamos a conclusão que

B = - 4 / 5

C = 9 / 5

Agora que temos A   e   B   e   C podemos reescrever nossa fração!!!

Passo 4

No passo anterior, vimos que

2 x 2 + x + 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 9 ) = 1 / 5 x + 1 + - 4 / 5 + 9 x / 5 ( x 2 + 9 )

Então a integral fica:

∫   2 x 2 + x + 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 9 ) d x =   ∫ 1 / 5 x + 1 + - 4 / 5 + 9 x / 5 ( x 2 + 9 ) d x

pela linearidade da integral

=   ∫ 1 / 5 x + 1 d x + ∫ - 4 / 5 ( x 2 + 9 ) d x + ∫ 9 x / 5 ( x 2 + 9 ) d x

Vamos resolver essas integrais, começando pelas mais fáceis temos:

∫ 1 / 5 x + 1 d x = 1 5 l n ( x + 1 )

∫ 9 x / 5 ( x 2 + 9 ) d x = 9 2 * 5 l n ( x 2 + 9 )

Por último, precisamos calcular ∫ - 4 / 5 ( x 2 + 9 ) d x , mas para isso, vamos usar o fato que ∫   1 a 2   +   x 2 d x   =   1 a a r c t g ( x a ) + k , então:

∫ - 4 / 5 ( x 2 + 9 ) d x = - 4 5 * 1 3 a r c t g ( x 3 )

Passo 5

Juntando as integrais que calculamos no passo anterior temos:

∫   2 x 2 + x + 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 9 ) d x =   1 5 l n ( x + 1 ) + 9 2 * 5 l n ( x 2 + 9 ) + - 4 5 * 1 3 a r c t g ( x 3 ) + k

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

1 5 l n ( x + 1 ) + 9 2 * 5 l n ( x 2 + 9 ) + - 4 5 * 1 3 a r c t g ( x 3 ) + k

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