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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Calcule a seguinte integral:

∫ x + 1 x 3 + 2 x 2 - 3 x d x

Passo 1

Já que se trata de uma divisão de polinômios em que o grau do numerador é menor que do denominador, a regra é usar frações parciais. Primeiro fatoramos o denominador:

∫ x + 1 x 3 + 2 x 2 - 3 x d x = ∫ x + 1 x ( x - 1 ) ( x + 3 ) d x

Agora, decompondo em frações parciais obtemos:

∫ A ( x - 1 ) + B ( x + 3 ) + C x d x

Passo 2

Reduzindo as frações ao mesmo denominador teremos:

A x x + 3 + B x x - 1 + C ( x - 1 ) ( x + 3 ) x ( x - 1 ) ( x + 3 )

Comparando com a fração original da integral, sabemos que:

A x x + 3 + B x x - 1 + C x - 1 x + 3 = x + 1

Vamos usar as raízes x = - 3 , x = 0 e x = 1 para descobrir os coeficientes.

Tomando x = - 3 :

A - 3 - 3 + 3 + B - 3 - 3 - 1 + C - 3 - 1 - 3 + 3 = - 3 + 1

- 3 B - 4 = - 2

12 B = - 2

B = - 1 6

Tomando x = 0

A . 0 0 + 3 + B . 0 0 - 1 + C 0 - 1 0 + 3 = 0 + 1

C - 1 + 3 = 1

C = - 1 3

Tomando x = 1 :

A . 1 1 + 3 + B . 1 1 - 1 + C 1 - 1 1 + 3 = 1 + 1

4 A = 2

A = 1 2

Passo 3

∫ 1 / 2   ( x - 1 ) + B ( x + 3 ) + C x d x = ∫ 1 2 ( x - 1 ) + - 1 6 ( x + 3 ) + - 1 3 x d x =

1 2 ∫ 1 ( x - 1 ) d x - 1 6 ∫ 1 x + 3 d x - 1 3 ∫ 1 x d x =

1 2 ln ⁡ x - 1 - 1 6 ln ⁡ x + 3 - 1 3 ln ⁡ x + C

Resposta

1 2 ln ⁡ x - 1 - 1 6 ln ⁡ x + 3 - 1 3 ln ⁡ x + C

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