Calcule as integrais indefinidas abaixo:

Repara que o grau do numerador e do denominador agora estão iguais. O que a gente faz? Aplicamos o método de novo, já que queremos que o grau do numerador seja menor.

Vamos de novo! Primeiro a gente divide o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador:

Depois a gente multiplica isso pelo denominador:

E então, a gente subtrai isso do numerador:

Aí a gente reescreve nossa nova fração usando e , desse jeitinho:

Agora sim o grau do numerador na fração está menor que o grau do denominador. Bora começar a usar as frações parciais!

Nossa integral está assim agora:

Vamos reescrever esse denominador como um produto de polinômios. A gente pode reescrever esse termo com grau 2 que ficou ali, usando uma fórmulinha:

Onde é o termo multiplicado por , no nosso caso . E e são as raízes do polinômio de grau 2:

As achando por Bhaskara

Nosso denominador fica:

Aí a nossa integral fica assim:

Usar frações parciais é fazer esse integrando virar uma soma de funções tranquilas de integrar assim:

Vamos então descobrir e. Partindo daqui:

A gente multiplica esse termo pelo denominador do outro termo. Aí faz o mesmo para :

Fazendo a distributiva:

Agora a gente faz um sisteminha. Não temos um termo sozinho (sem ) do lado esquerdo, aí a gente tem o valor para representar isso, e do lado direito temos o e o . Podemos igualar esses dois caras:

Fazendo o mesmo só para os termos multiplicados por em cada lado:

Aí a gente tem um sisteminha:

Vamos multiplicar a segunda equação por e somar as duas:

Como todas essas letrinhas achadas finalmente, a gente reescreve nossa integral:

Agora a gente resolve essa bonita:

Resolvendo cada integral e depois somando. A primeira

A segunda:

Fazendo a substituição :

A terceira:

Fazendo a substituição :

Substituindo nossos resultados:

Não esquecendo ali da constante, já que temos uma integral indefinida!