3b) Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Ô integral feia em! Vamos deixar ela mais bonita. Pra começar, veja que temos um polinômio sobre o outro. Geralmente esse é um bom indício de que usaremos frações parciais. Sendo assim, pra começar, vamos colocar um em evidência no denominador:
Opa, surgiu um polinômio de segundo grau no denominador em! Vamos ver se tiramos alguma informação dele usando Bháskara? Seja:
Segundo a fórmula de Bháskara, as raízes desse polinômio são calculador por:
Seja:
Vamos ter:
E logo:
Reescrevemos então o polinômio do segundo grau para:
E a integral fica:
Passo 2
Beleza, mas como isso ajuda a gente a resolver a questão. Bem, agora que temos no denominador produtos de polinômios de grau , podemos reescrever o interior da integral como:
Onde são números que vamos determinar ainda. Pra determinar, bora colocar todo mundo na equação acima no mesmo denominador:
E cortando o denominador agora:
Aplicando a distributiva:
Agrupando os termos, temos:
Opa, agora conseguimos montar um sistema de equações se juntarmos os termos multiplicando cada potência de . O sistema vai ficar:
A última linha já mata uma pra gente, vamos ter:
E logo:
O que dá:
Subtraindo a primeira linha da segunda, temos:
E como , concluímos então que:
No final das contas, reescrevemos:
Passo 3
Agora sim a gente vai realmente resolver a integral. Primeiro achamos:
Depois achamos:
E no último passo achamos:
Sendo assim, ficamos com:
Da propriedade das integrais, temos:
Resolvendo:
Resultando finalmente em:
Se quiser, como , pode responder ainda: