UFJF – Cálculo 2 – Lista, 2022.2 – 1f
Calcule as integrais:
f)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente resolver a integral:
A primeira coisa que a gente pode pensar é em tentar usar substituição simples ou trigonométrica, mas nesse caso nenhuma delas ajuda a gente.
Repara que nós temos uma função em que o grau do denominador é maior do que o grau do numerador. O que é o grau mesmo?
O grau de um polinômio é simplesmente o seu maior expoente, no nosso caso o denominador tem grau . No nosso caso, ele já veio fatorado, o que já nos polpa trabalho.
Beleza, mas e daí? E daí que sempre que isso acontecer, a gente pode pensar em usar o método das Frações Parciais. Mas o que é esse método?
O método das Frações Parciais é um método dá pra gente “quebrar” uma fração que seja difícil de integrar, em duas ou mais frações mais simples de integrar.
No nosso caso, nós temos o denominador que tem fatores do primeiro grau, e e alguns deles se repetem. Como assim? Porque nós temos duas vezes, percebe?
Mas porque eu tô falando isso?
Porque quando a gente tem algo assim, as nossas frações parciais vão ser desmembradas dessa forma:
Depois é só continha braçal. A gente vai colocar tudo no mesmo denominador e montar um sisteminha pra determinar , e , e em seguida resolver nossa integral. Vamos lá!
Passo 2
Temos:
Tirando o M.M.C. do lado direito, colocamos os termos do segundo lado em um mesmo denominador:
Portanto, teremos que:
Como nosso denominador é igual, podemos comparar os termos do numerador:
Abrindo os produtos, temos:
Nós vamos igualar os coeficientes de todo mundo que multiplica , todo mundo que multiplica e assim por diante:
Da primeira equação do sistema, nós podemos tirar . Substituindo isso na terceira equação, temos:
Substituindo em :
Como , então e de , temos:
Encontramos nossos coeficientes!
Passo 3
Agora podemos substituir , e em:
E finalmente podemos integrar dos dois lados:
Como a integral da soma é a soma das integrais, podemos separar:
Agora vamos resolver cada integral do lado direito separadamente, pra gente não se perder nas continhas.
Passo 4
Vamos começar com:
Podemos chamar:
Derivando:
Substituindo na integral, temos:
Que sabemos resolver:
Voltando pra variável que nós substituímos:
Passo 5
Agora para , vamos fazer de maneira análoga ao passo e chamar:
Derivando:
Substituindo na integral:
Voltando à variável :
Passo 6
Pra nossa terceira e última integral, temos:
Vamos fazer por substituição também, chamando:
Derivando:
Substituindo na integral:
Vamos escrever pra gente visualizar melhor a integração:
Integrando:
Agora podemos voltar à nossa variável que a gente substituiu, e temos:
Passo 7
Agora, nós podemos finalmente juntar tudo na nossa integral original:
Nós podemos juntar , e em uma única constante :
E encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉