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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

  1. Calcule as integrais abaixo:

b. ∫ 1 x 2 - 4 d x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos a seguinte integral para resolver

∫ 1 x 2 - 4 d x

Ela não é uma integral direta, então vamos ter que usar alguma estratégia de integração para resolve-la.

Repara que podemos escrever a nossa integral assim:

∫ 1 x 2 - 4 d x = ∫ 1 x + 2 x - 2 d x

A gente ficou com um produto de polinômios no denominador. Isso é indicativo de que vamos usar o método de frações parciais.

Bora lá!

Passo 2

Vamos escrever a nossa função da seguinte forma:

1 x + 2 x - 2 = A x + 2 + B x - 2

Somando o lado direito da equaçao, ficamos com

= x - 2 A + x + 2 B x + 2 x - 2 = A + B x + 2 B - A x + 2 x - 2

Comparando a nossa ultima fração com a primeira, podemos montar o seguinte sistema:

A + B = 0 2 B - A = 1

Resolvendo, ficamos com

B = - A

Logo

2 B + B = 1

B = 1 4

E

A = - 1 4

Agora voltamos a nossa integral!

Passo 3

Tinhamos que

∫ 1 x 2 - 4 d x = ∫ 1 x + 2 x - 2 d x

Agora que sabemos quem é A e B , podemos montar a nossa integral em duas partes:

∫ 1 x + 2 x - 2 d x = ∫ - 1 4 x + 2 d x + ∫ 1 4 x - 2 d x

Podemos colocar o 1 / 4 em evidencia e ajeitando:

= 1 4 ∫ 1 x - 2 d x - ∫ 1 x + 2 d x

Agora vamos resolver cada integral em separado!

Passo 4

A primeira sai por substituição simples

∫ 1 x - 2 d x

Podemos chamar

u = x - 2 → d u = d x

Logo,

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Voltando de u para x , ficamos com

∫ 1 x - 2 d x = ln ⁡ x - 2

Passo 5

A segunda integral sai se aplicarmos a mesma estratégia

∫ 1 x + 2 d x

Podemos chamar

u = x + 2 → d u = d x

Logo,

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Voltando de u para x , ficamos com

∫ 1 x + 2 d x = ln ⁡ x + 2

Passo 6

Por fim, vamos juntar tudo! Tinhamos que

∫ 1 x 2 - 4 d x = 1 4 ∫ 1 x - 2 d x - ∫ 1 x + 2 d x

Substituindo pelos resultados das integrais

∫ 1 x 2 - 4 d x = 1 4 ln ⁡ x - 2 - ln ⁡ x + 2 + C

Onde C é a nossa constante de integração!

Resposta

1 4 ln ⁡ x - 2 - ln ⁡ x + 2 + C

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