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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 7a

Calcule a integral por frações parciais:

∫   12 x 2 + 21 x + 3 ( x + 1 ) ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de ∫   12 x 2 + 21 x + 3 ( x + 1 ) ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) d x

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é calcular ∫   12 x 2 + 21 x + 3 ( x + 1 ) ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) d x . Como podemos começar essa integral? O que vocês acham?

Primeiro, vamos simplificar 12 x 2 + 21 x + 3 ( x + 1 ) ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) colocando termos em evidência.

12 x 2 + 21 x + 3 ( x + 1 ) ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) = 3 ( 4 x 2 + 7 x + 1 ) ( x + 1 ) 3 ( x - 1 / 3 ) ( x + 2 )

= ( 4 x 2 + 7 x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 / 3 ) ( x + 2 )

Passo 3

Bem chegamos a conclusão que

12 x 2 + 21 x + 3 ( x + 1 ) ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) = ( 4 x 2 + 7 x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 / 3 ) ( x + 2 )

mas será que podemos simplificar ainda mais essa expressão? A resposta é sim!!!

Vamos usar frações parciais para escrevermos nossa fração da seguinte forma:

( 4 x 2 + 7 x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 / 3 ) ( x + 2 ) = A ( x + 1 ) + B ( x - 1 / 3 ) + C ( x + 2 )

Para isso, iremos obter A   e   B   e   C   .

Passo 4

Desenvolvendo a expressão do passo anterior temos:

( 4 x 2 + 7 x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 / 3 ) ( x + 2 ) = A ( x + 2 ) ( x - 1 / 3 ) ( x - 1 / 3 ) ( x + 1 ) + B ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x - 1 / 3 ) + C ( x + 1 ) ( x - 1 / 3 ) ( x + 1 ) ( x - 1 / 3 ) ( x + 2 )

Então

( 4 x 2 + 7 x + 1 ) = A x 2 + 5 A x / 3 - 2 A / 3 + B x 2 + 3 B x + 2 B + C x 2 + 2 C x / 3 - C / 3

= ( A + B + C ) x 2 + x ( 5 A / 3 + 3 B + 2 C / 3 ) - 2 A / 3 + 2 B - C / 3

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

A + B + C   = 4

5 A / 3 + 3 B + 2 C / 3 = 7

- 2 A / 3 + 2 B - C / 3 = 1

Resolvendo o sistema obtemos os seguintes valores para A ,   B   e   C

A = 3 / 2

B = 17 / 14

C = 9 / 7

Passo 5

Usando os valores de A ,   B   e   C podemos escrever

( 4 x 2 + 7 x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 / 3 ) ( x + 2 ) = 3 / 2 ( x + 1 ) + 17 / 14 ( x - 1 / 3 ) + 9 / 7 ( x + 2 )

Então a integral fica:

∫ ( 4 x 2 + 7 x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 / 3 ) ( x + 2 ) d x = ∫ 3 / 2 ( x + 1 ) + 17 / 14 ( x - 1 / 3 ) + 9 / 7 ( x + 2 ) d x

pela linearidade da integral

=   ∫ 3 / 2 ( x + 1 ) d x + ∫ 17 / 14 ( x - 1 / 3 ) d x + ∫ 9 / 7 ( x + 2 ) d x

Mas essas integrais são conhecidas, elas são o famoso logaritmo, então

  ∫ 3 / 2 ( x + 1 ) d x + ∫ 17 / 14 ( x - 1 / 3 ) d x + ∫ 9 / 7 ( x + 2 ) d x

  = 3 2 l n ( x + 1 ) + 17 14 l n ( x - 1 / 3 ) + 9 7 l n ( x + 2 ) + k

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

  3 2 l n ( x + 1 ) + 17 14 l n ( x - 1 / 3 ) + 9 7 l n ( x + 2 ) + k

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