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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 10d

Use substituição para converter a integral abaixo em integral de funções racionais, e em seguida resolva a integral

∫ d x x 1 / 2 + x 1 / 4

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez, queremos converter uma integral para outra que contenha somente funções racionais e depois resolvê-la. Nessa questão a nossa integral é

∫ d x x 1 / 2 + x 1 / 4

Vamos começar fazendo u   =   x 1 / 4 ⇒   d u   =   1 4 x - 3 / 4 d x . Então d x   =   4 u 3 d u

∫ d x x 1 / 2 + x 1 / 4 = ∫ 4 u 3 u 2 + u d u

Fazendo a divisão longa temos

= 4 ∫ ( u - 1 )   +   1 u + 1 d u

Pronto, agora temos nossa integral na forma racional.

Passo 2

No passo anterior chegamos a conclusão que

∫ d x x 1 / 2 + x 1 / 4 = 4 ∫ ( u - 1 )   +   1 u + 1 d u

com u   =   x 1 / 4

Mas essas integrais são manjadas!!!

Temos:

4 ∫ ( u - 1 )   +   1 u + 1 d u = 4 ( u 2 / 2   -   u   +   l n ( | u + 1 | ) )

Retornando para a variável x temos:

4 ( u 2 / 2   -   u   +   l n ( | u + 1 | ) ) =   4 ( x 1 / 2 / 2   -   x 1 / 4 +   l n ( x 1 / 4 + 1 ) )

Então

∫ d x x 1 / 2 + x 1 / 4 = 4 ( x 1 / 2 / 2   -   x 1 / 4 +   l n ( x 1 / 4 + 1 ) ) + C

Prontinho, pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Essa deu para trabalhar bem nossa habilidade de manipulação de frações!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

4 ( x 1 / 2 / 2   -   x 1 / 4 +   l n ( x 1 / 4 + 1 ) ) + C

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