Q03b) Calcule a integral abaixo:
Passo 1
Bora lá. Temos aqui uma integral de uma divisão de polinômios (o seria um polinômio de grau ). Geralmente quando é assim, é uma boa ideia a gente tentar fazer Integral por Frações Parciais. Como o denominador é um polinômio de segundo grau, seja:
Onde:
Segundo a fórmula de Bháskara podemos escrever:
Onde são as raízes do polinômio, encontradas pela fórmula:
Achando as raízes então, temos:
O polinômio é então:
E a integral se transforma em:
Passo 2
Agora que escrevemos a integral numa forma compatível com as frações parciais, bora montar elas. O interior da integral pode ser reescrita para:
Pra saber quem é e quem é basta a gente por tudo no mesmo denominador, bora lá:
Cortando o denominador:
E colocando os termos em comum em evidência:
Igualando os termos temos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema ficamos com:
No final das contas, ficamos com:
E a integral fica:
Passo 3
Fechamos as contas, agora é bem direto ao ponto, viu? As integrais vão ficar:
O que dá:
Ou se você quiser, pode escrever ainda dessa forma: