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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 6a

Use a decomposição de fração parcial (ou uma técnica mais simples) para expressar a função racional abaixo como uma soma ou diferença de duas ou mais expressões racionais mais simples.

x 2 + 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de decomposição de fração parcial. Queremos simplificar a expressão x 2 + 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 )

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é decompor x 2 + 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 ) em combinação de frações mais simples . Como podemos começar? O que vocês acham?

Primeiro, vamos tentar escrever a nossa fração da seguinte forma

x 2 + 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 ) =   A x + B x + 1 + C x + 2

Para isso iremos obter A   e   B   e   C   .

x 2 + 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 ) =   A x + B x + 1 + C x + 2

desenvolvendo

x 2 + 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 ) =   A ( x + 1 ) ( x + 2 ) x ( x + 1 ) ( x + 2 ) + B x ( x + 2 ) ( x + 1 ) x ( x + 2 ) + C x ( x + 1 ) x ( x + 1 ) ( x + 2 )

realizando a multiplicação

x 2 + 1   =   A x 2   + 3 A x   + 2 A   +   B x 2     +   2 B x + C x 2     +   C x

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

A x 2 + B x 2   + C x 2   =   x 2 ⇒ A   +   B + C = 1

3 A x   +   2 B x   +   C x   =   0 ⇒ 3 A   +   2 B + C = 0  

2 A   =   1 ⇒   A = 1 / 2

Ou seja, temos um sistema de equações em A   e   B   e   C . Vamos resolver!!!

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações em A   e   B   e   C que montamos no passo anterior

A   +   B + C = 1

A = 1 / 2  

3 A   +   2 B + C = 0

Substituindo na primeira equação temos:

1 / 2   +   B + C = 1

⇒ B   =   1 / 2   -   C

Substituindo na terceira equação

3 / 2 + 2 ( 1 / 2   -   C ) + C   =   0

⇒ 3 / 2   +   1   - C   =   0

⇒ C =   5 / 2

⇒ B = - 2

Agora que temos A   e   B   e   C podemos reescrever nossa fração!!!

Passo 4

No passo anterior, vimos que

x 2 + 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 ) =   A x + B x + 1 + C x + 2

substituindo os valores que obtivemos no passo anterior

x 2 + 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 ) =   1 2 x - 2 x + 1 + 5 2 ( x + 2 )

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

1 2 x - 2 x + 1 + 5 2 ( x + 2 )

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