UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 7c
Calcule a integral por frações parciais:
Passo 1
Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de
Vamos nessa!!!
Passo 2
Nosso objetivo é calcular . Como podemos começar essa integral? O que vocês acham?
Primeiro, vamos simplificar escrevendo essa fração na forma
Para isso, iremos obter .
Passo 3
Desenvolvendo a expressão do passo anterior temos:
Então
Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em isso quer dizer que os termos que têm de um lado precisam ser iguais aos que tem do outro lado da igualdade. Com isso temos:
Passo 4
Desenvolvendo a expressão do passo anterior temos:
Então
Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em isso quer dizer que os termos que têm de um lado precisam ser iguais aos que tem do outro lado da igualdade. Com isso temos:
Resolvendo o sistema obtemos os seguintes valores para
Passo 5
Usando os valores de podemos escrever
Mas podemos simplificar a fração ainda mais. Temos:
Parece que ficou pior, né? Mas vamos ver como essa simplificação irá nos ajudar na hora de calcular a integral
Queremos calcular
Passo 6
Vamos começar calculando , mas essa integral é manjada. é o nosso logaritmo. Então
Agora vamos calcular
(fazendo )
retornando para a variável original
E para finalizar, precisamos calcular . Para isso, vamos lembrar que:
Então
juntando o produto notável
usando o resultado acima
Juntando nossas integrais temos:
Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Essa foi bem grandinha, mas espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!