UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 7e
Calcule a integral por frações parciais:
Passo 1
Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de
Vamos nessa!!!
Passo 2
Nosso objetivo é calcular . Como podemos começar essa integral? O que vocês acham?
Primeiro, vamos simplificar colocando em evidência . Então
E agora, o que podemos fazer para simplificar ainda mais? Podemos tentar separar o denominador. Como vamos fazer isso? Vamos tentar encontrar tais que
Passo 3
Desenvolvendo a expressão do passo anterior temos:
Abrindo o produto
Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em isso quer dizer que os termos que têm de um lado precisam ser iguais aos que tem do outro lado da igualdade. Com isso temos:
Ou seja, temos um sistema de equações em . Vamos resolver!!!
Nosso sistema é
Resolvendo descobrimos que
Passo 4
Usando os valores de que obtemos no passo anterior, temos
Então nossa integral fica da seguinte forma:
pela linearidade da integral
Vamos calcular uma dessas integrais
Para calcular , vamos fazer aparecer no numerador , então vamos escrever nossa integral da seguinte forma:
Passo 5
Vamos calcular
Pela linearidade da integral
Para resolver vamos fazer . Então:
resolvendo a integral
retornando para a variável original
Passo 6
E para finalizar, precisamos calcular . Para isso, vamos lembrar que:
Então
juntando o produto notável
usando o resultado acima
Juntando nossas integrais temos:
Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Tivemos umas “simplificações” bem diferentes na resolução dessa questão. Quanto mais questões de integrais parciais vocês fizerem, mais vocês vão pegar o feeling de como devemos manipular as frações. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!