4b) Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Eu sei eu sei, essa função parece bem complicada. Mas relaxa gafanhoto, que vamos tirar de letra. Da uma boa olhada no denominador:
Não parece um polinômio de funções de ? Bem, parece porque é! E já que temos um polinômio aí, porque não tentar uma substituição simples do tipo:
Vamos ter então:
E podemos reescrever nossa integral para:
Passo 2
Show de bola. Ficamos com uma integral numa nova variável um pouco mais tranquila de resolver porque não tem função trigonométrica pra nos preocuparmos:
De novo, dá uma olhada no denominador: polinômio de segundo grau. Opa, então se usarmos fórmula de Bháskara:
Poderemos reescrever o polinômio como:
Sendo:
Ficamos com:
E logo, reescrevemos o polinômio para:
E a integral fica:
Passo 3
Beleza, mas e dái? Bem, reescrevendo a integral assim, conseguimos usar o Método das Frações Parciais. Logo, podemos fazer:
Pra achar as constantes e , vamos olhar pro interior de cada uma das integrais acima:
Colocando tudo no mesmo denominador, temos:
Cortando os denominadores e fazendo a distributiva, ficamos com:
Fazemos então um sistema de equações:
Multiplicando a primeira linha por e somando a segunda, temos:
E pronto! Achamos os valores das constantes! Com substituído na primeira linha, achamos e logo:
Passo 4
E pra finalizar meeesmo, vamos juntar tudo que encontramos em cada um dos passos anteriores:
Ou seja, a nossa integral reescrita fica:
Como essas integrais tem resolução direta, ficamos com:
E pra partir correndo pro abraço, voltando a variável original e adicionando a constante de integração, temos: