UNICAMP - (Cálculo 1) - P3 2020.1
Calcule as seguintes integrais. Justifique suas respostas.
Passo 1
Fala galera, como vocês estão? Então povo, a primeira integral é bem feia:
Mas relaaaaxa! Porque tem um macete muito boa pra resolver questões com produtos de tangente e secante. E esse macete começa com a gente lembrando qual a derivada de tangente e qual a da secante:
Então se fizéssemos uma substituição do tipo:
Ao derivar, acharíamos:
Opa! Olha só que bacana! Vamos então procurar uma forma de explicitar na integral esse resultado, acompanhado de . Então saca só:
Já deu pra ver que vamos usar uma substituição ! Sendo assim, o que ficou sobrando pode ser eliminado se lembrarmos de usar a seguinte identidade trigonométrica:
Vamos ter:
E aplicando a substituição:
Ficamos com:
Agora é só integrar esse polinômio de , e depois voltar pra variável original! Dá só uma olhada:
Passo 2
Pra segunda integral, temos:
Galera, novamente vai ser muito bom a gente lembrar as derivadas! Afinal, se escolhermos , teremos:
Como isso ajuda a gente? Bem, com essa estratégia, podemos eliminar o de dentro da integral ao usarmos integração por partes! Olha a malandragem:
Seja:
Vamos ter:
E a integral que sobrou do lado direito na verdade é a mesma que fizemos ao transformar em . Sendo assim, como já sabemos seu resultado, temos:
O que resulta, finalmente, em:
Ta na mão! Bora pra última letra!
Passo 3
Pra gente fechar com chave de ouro, bora resolver a última integral:
Humm, divisão de polinômios? Isso tem cara de frações parciais! Podemos reescrever esse cara para:
Onde são constantes que a gente pode descobrir se, nessa igualdade:
Colocarmos tudo no mesmo denominador:
Eliminando o denominador e abrindo os produtos de polinômios, temos:
E aplicando a distributiva, seguido de um agrupamento das constantes, a gente fica com essa cosia fofa aqui:
O que gera o seguinte sistema de equações:
Somando as duas últimas equações, achamos:
E com esse valor, achamos, na primeira, que . Com , achamos na segunda equação:
Show de bola! Vamos ter, por enquanto:
A última integral sai se fizermos uma substituição simples:
Logo:
Voltando pra variável original, temos: