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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Q01a) Calcule as integrais abaixo:

∫ 3 x + 4 x 2 + 3 x + 2 d x

Passo 1

Olha, pra começar, vou te dizer o seguinte: todo método de integração tem meio que uma cara. Sabe qual a cara da Integração por Frações Parciais? Divisão de polinômios! Como o denominador é do segundo grau, podemos usar Bháskara pra reescrever ele:

x 2 + 3 x + 2 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Calculando então as raízes desse polinômio:

x 1,2 = - 3 ± 3 2 - 4 1 2 2 1

x 1,2 = - 3 ± 9 - 8 2 = - 3 ± 1 2 = - 3 ± 1 2

x 1,2 = - 3 + 1 2 = - 2 2 = - 1 - 3 - 1 2 = - 4 2 = - 2

E logo:

x 2 + 3 x + 2 = x + 2 x + 1

A integral fica:

∫ 3 x + 4 x 2 + 3 x + 2 d x = ∫ 3 x + 4 x + 2 x + 1 d x = ∫ A x + 2 d x + ∫ B x + 1 d x  

Opa, essas integrais tem resolução direta em!

∫ 3 x + 4 x 2 + 3 x + 2 d x = A ln ⁡ x + 2 + B ln ⁡ x + 1 + C  

Falta só achar quem é A e quem é B pra fechar a questão. Bora?

Passo 2

Pra achar A , B vamos começar olhando pra esse resultado aqui:

∫ 3 x + 4 x + 2 x + 1 d x = ∫ A x + 2 d x + ∫ B x + 1 d x

Bem, se isso é verdade, é verdade também que:

3 x + 4 x + 2 x + 1 = A x + 2 + B x + 1

Não estão bem no mesmo denominador né? Mas quase lá! Vamos por tudo então no mesmo denominador e abrir a distributiva:

3 x + 4 x + 2 x + 1 = A x + 1 x + 2 x + 1 + B x + 2 x + 2 x + 1

3 x + 4 x + 2 x + 1 = A x + A x + 2 x + 1 + B x + 2 B x + 2 x + 1

Cortando os denominadores todos e pondo os termos comuns em evidência:

3 x + 4 = A x + A + B x + 2 B

3 x + 4 = A + B x + A + 2 B

Opa, quer dizer então que dá pra montar um sistema de equações se eu comparar os coeficientes em comum? Isso mesmo! Vamos ter:

A + B = 3 A + 2 B = 4

Multiplicando a primeira linha por - 1 e somando com a segunda, ficamos com:

- A - B = - 3 A + 2 B = 4

- A + A + 2 B - B = 4 - 3

B = 1

E como A + B = 3 , então A = 2 . Show! Fechamos a questão:

∫ 3 x + 4 x 2 + 3 x + 2 d x = A ln ⁡ x + 2 + B ln ⁡ x + 1 + C  

∫ 3 x + 4 x 2 + 3 x + 2 d x = 2 ln ⁡ x + 2 + ln ⁡ x + 1 + C  

Resposta

∫ 3 x + 4 x 2 + 3 x + 2 d x = 2 ln ⁡ x + 2 + ln ⁡ x + 1 + C  

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