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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Passo 1

Vamos começar vendo se teria como simplificar esse denominador

2 x 2 + 7 x + 3

2 x 2 + 7 x + 3 = ( x + 3 ) ( 2 x + 1 )

Então nossa integral ficaria

∫ x - 2 2 x 2 + 7 x + 3 d x = ∫ x - 2 x + 3 2 x + 1 d x

Passo 2

Isso ficou com cara de frações parciais né? Vamos aplicar

x - 2 x + 3 2 x + 1 = A x + 3 + B 2 x + 1

Colocando tudo sob o mesmo denominador

x - 2 x + 3 2 x + 1 = A ( 2 x + 1 ) ( x + 3 ) ( 2 x + 1 ) + B ( x + 3 ) ( x + 3 ) ( 2 x + 1 )

x - 2 = 2 A x + A + B x + 3 B

x - 2 = x 2 A + B + A + 3 B

Dái, sabemos que

2 A + B = 1

A + 3 B = - 2

Resolvendo o sisteminha, ficamos com

A = 1

B = - 1

Então

x - 2 x + 3 2 x + 1 = 1 x + 3 - 1 2 x + 1

Aplicando na nossa integral ficamos com

∫ x - 2 2 x 2 + 7 x + 3 d x = ∫ 1 x + 3 d x - ∫ 1 2 x + 1 d x

Passo 3

Agora só falta resolver as integrais

∫ 1 x + 3 d x

Podemos utilizar a substituição

u = x + 3

d u = d x

∫ 1 x + 3 d x = ∫ d u u = ln ⁡ u

Desfazendo a substituição ficamos com

∫ 1 x + 3 d x = ln ⁡ ( x + 3 )

Fazendo bem semelhante para

∫ 1 2 x + 1 d x

Ficamos com

∫ 1 2 x + 1 d x = 1 2 ln ⁡ 2 x + 1

Passo 4

Por fim, aplicando na nossa expressão ficamos com

∫ x - 2 2 x 2 + 7 x + 3 d x = ∫ 1 x + 3 d x - ∫ 1 2 x + 1 d x

∫ x - 2 2 x 2 + 7 x + 3 d x = ln ⁡ x + 3 - 1 2 ln ⁡ 2 x + 1

E aplicando os limites de integração

∫ 0 4 x - 2 2 x 2 + 7 x + 3 d x = ln ⁡ 4 + 3 - 1 2 ln ⁡ 8 + 1 - ln ⁡ 0 + 3 + 1 2 ln ⁡ ( 0 + 1 )

∫ 0 4 x - 2 2 x 2 + 7 x + 3 d x = ln ⁡ 7 - ln ⁡ 9 - ln ⁡ 3 + ln ⁡ 1

∫ 0 4 x - 2 2 x 2 + 7 x + 3 d x = ln ⁡ 7 - 2 ln ⁡ 3

Resolvida nossa integral!

Resposta

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