b) Calcule:
Passo 1
A primeira coisa a se fazer pra calcular essa integral é olhar bem pro fundo dos olhos dela e perguntar: o que é você? Bem, se ela não mentiu pra você, ela vai dizer: sou um polinômio dividido por outro um grau superior! Opa, então isso da uma ideia: frações parciais! Veja só:
Então vamos tentar reescrever a integral do enunciado como uma soma de integrais como a acima, que aí a resolução sai direto, beleza? Bora lá:
Passo 2
O truque vai ser olhar pro denominador. Saca só:
Pô, esses dois termos tem um em comum! Colocando em evidência então:
E olha só, outra coisa interessante apareceu: uma diferença de quadrados! Usando produto notável, ficamos então com:
E a integral vira:
Pelo método das frações parciais, podemos separar essa integral em três então:
Como a resolução é direta, vamos ter então:
O truque então vai ser achar quem são as constantes .
Passo 3
Pra achar as constantes, vamos esquecer a integral um pouco e ver a função dentro dela só:
Bora por tudo no mesmo denominador pra podermos cortar ele. Vamos ter:
Tirando o denominador então:
E fazendo a distributiva:
Igualando os termos em colchetes:
Resolvendo o sistema de equações:
E fechou! O resultado da integral vai ser:
Mas não se esqueça de por a constante de integração em!