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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFMG – Cálculo I – P2 – 2022.1

Calcule a integral.

∫ 10 ( x - 1 ) ( x 2 + 9 ) d x

Passo 1

E aí, gente!! Tranquilidade? Nessa questão aqui a gente pode olhar pra esses dois polinômios no denominador e já pensar: Opa, frações parciais!!

E realmente, você pode seguir nessa questão fazendo por frações parciais, mas quero mostrar pra vocês que às vezes podemos usar outros caminhos mais tranquilos e que estamos acostumados, então vem comigo!!!

Passo 2

Galerinha, observe que nessa integral, temos uma constante, então:

∫ 10 ( x - 1 ) ( x 2 + 9 ) d x = 10 ∫ 1 ( x - 1 ) ( x 2 + 9 )   d x

Para o integrando 1 ( x - 1 ) ( x 2 + 9 ) , vamos usar frações parciais:

10 ∫ - x - 1 10 x 2 + 9 + 1 10 x - 1 d x

integrando a soma por termo a termo e “tirar para fora” as constantes:

= ∫ - x - 1 x 2 + 9 d x + ∫ 1 x - 1 d x

Expandindo a integral - x - 1 x 2 + 9 , temos:

= ∫ - x x 2 + 9 - 1 x 2 + 9 d x + ∫ 1 x - 1 d x

integrando a soma por termo a termo e “tirar para fora” as constantes:

= - ∫ x x 2 + 9 d x - ∫ 1 x 2 + 9 d x + ∫ 1 x - 1 d x

Passo 3

Para o termo x x 2 + 9 , vamos usar a regrinha da substituição:

seja u = x 2 + 9 , derivando temos que d u = 2 x   d x , logo:

= - 1 2 ∫ 1 u d u - ∫ 1 x 2 + 9 d x + ∫ 1 x - 1 d x

A integral de 1 u é ln ⁡ ( u ) :

= - ln ⁡ u 2 - ∫ 1 x 2 + 9 d x + ∫ 1 x - 1 d x

Fatorando 9 no denominador:

- ln ⁡ u 2 - ∫ 1 9 x 2 9 + 1 d x + ∫ 1 x - 1 d x

Colocando para fora as constantes:

- ln ⁡ u 2 - 1 9 ∫ 1 x 2 9 + 1 d x + ∫ 1 x - 1 d x

Para o termo 1 x 2 9 + 1 , vamos usar a regrinha da substituição:

seja s = x 3 , então d s = 1 3   d y , logo:

- ln ⁡ u 2 - 1 3 ∫ 1 s 2 + 1 d s + ∫ 1 x - 1 d x

A integral de 1 s 2 + 1 é tan - 1 ⁡ ( s ) :

= - 1 3 tan - 1 ⁡ s - ln ⁡ u 2 + ∫ 1 x - 1   d x

Passo 4

Para a integral 1 x - 1   d x , vamos usar a regrinha da substituição também:

seja p = x - 1 , então d p = d y , logo:

= - 1 3 tan - 1 ⁡ s - ln ⁡ u 2 + ∫ 1 p   d p

A integral de 1 p é ln ⁡ ( p ) :

ln ⁡ ( p ) - 1 3 tan - 1 ⁡ s - ln ⁡ u 2 + C

Não podemos esquecer de adicionar a constante.

Passo 5

Substituindo de volta para p = x - 1 :

ln ⁡ ( x - 1 ) - 1 3 tan - 1 ⁡ s - ln ⁡ u 2 + C

Substituindo de volta para s = x 3 :

ln ⁡ ( x - 1 ) - 1 3 tan - 1 ⁡ x 3 - ln ⁡ u 2 + C

E por ultimo, substituindo de volta para u = x 2 + 9 :

ln ⁡ ( x - 1 ) - 1 3 tan - 1 ⁡ x 3 - ln ⁡ x 2 + 9 2 + C

Resposta

ln ⁡ ( x - 1 ) - 1 3 tan - 1 ⁡ x 3 - ln ⁡ x 2 + 9 2 + C

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