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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 7d

Calcule a integral por frações parciais:

∫   x 2   +   x   +   5 x 2 + 4 x   +   10 d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de ∫   x 2   +   x   +   5 x 2 + 4 x   +   10 d x

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é calcular ∫   x 2   +   x   +   5 x 2 + 4 x   +   10 d x . Como podemos começar essa integral? O que vocês acham?

Primeiro, vamos simplificar   x 2   +   x   +   5 x 2 + 4 x   +   10   escrevendo fazendo a divisão polinomial. Isto é:

queremos escrever nossa fração na seguinte forma

x 2   +   x   +   5 x 2 + 4 x   +   10   =   q   +   r x 2 + 4 x + 10

fazendo a divisão obtemos

x 2   +   x   +   5 x 2 + 4 x   +   10 =   1   - 3 x + 5 x 2 + 4 x   +   10

Agora podemos simplificar ainda mais manipulando 3 x + 5 x 2 + 4 x   +   10

3 x + 5 x 2 + 4 x   +   10 =   3 ( 2 x + 4 ) 2 ( x 2 + 4 x   +   10 )   -   1 x 2 + 4 x   +   10

Fizemos isso pois na hora de calcularmos as integrais, teremos integrais conhecidas. Ficará mais claro no passo seguinte.

Passo 3

Queremos calcular

∫   x 2   +   x   +   5 x 2 + 4 x   +   10 d x = ∫ 1 - 3 ( 2 x + 4 ) 2 ( x 2 + 4 x   +   10 )   +   1 x 2 + 4 x   +   10 d x

pela linearidade da integral

= ∫ 1 d x - ∫ 3 ( 2 x + 4 ) 2 ( x 2 + 4 x   +   10 ) d x   +   ∫ 1 x 2 + 4 x   +   10 d x

Vamos calcular cada uma dessas integrais

∫ 1 d x   =   x

Fazendo u   =   x 2   +   4 x   + 10 ⇒   d u   =   ( 2 x + 4 ) d x . Então:

∫ 3 ( 2 x + 4 ) 2 ( x 2 + 4 x   +   10 ) d x = ∫ 3 2 1 u d u

resolvendo a integral

= 3 2 l n ( u )

retornando para a variável original

= 3 2 l n ( x 2 + 4 x + 10 )

Passo 4

E para finalizar, precisamos calcular ∫ 1 ( x 2 + 4 x + 10 ) d x . Para isso, vamos lembrar que:

∫   1 a 2   +   x 2 d x   =   1 a a r c t g ( x a ) + k

Então

∫ 1 ( x 2 + 4 x + 10 ) d x = ∫ 1 ( x 2 + 4 x + 4   +   6 ) d x

juntando o produto notável

= 4 ∫ 1 ( x + 2 ) 2 + 6 ) d x

usando o resultado acima

1 6 a r c t g ( x + 2 6 )

Juntando nossas integrais temos:

∫   x 2   +   x   +   5 x 2 + 4 x   +   10 d x = x   - 3 2 l n ( x 2 + 4 x + 10 ) +   1 6 a r c t g ( x + 2 6 )  

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Tivemos umas “simplificações” bem diferentes na resolução dessa questão. Quanto mais questões de integrais parciais vocês fizerem, mais vocês vão pegar o feeling de como devemos manipular as frações. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

x   - 3 2 l n ( x 2 + 4 x + 10 ) +   1 6 a r c t g ( x + 2 6 )

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