Integração por Frações Parciais
Calcule as integrais abaixo. Justifique as respostas.
Passo 1
O enunciado nos pede para calcularmos uma integral indefinida. Ou seja, o resultado deve ser uma família de funções (Não esquecer da constante )!
Olhando para a integral, podemos ver que se trata de uma função racional, ou seja, uma divisão de polinômios. Por isso, vamos tentar o método de integração por frações parciais.
Passo 2
1. Se o numerador tiver grau maior ou igual ao denominador, divida o numerador pelo denominador.
O grau do numerador é menor do que o do denominador .
2. Fatore o denominador para ele ficar na forma de um produto de termos.
Obs: Para saber se ele tem fatoração ou não, calcule as raízes do polinômio. No polinômio de segundo grau:
Se , então não existe fatoração.
Se , então a fatoração é
Se , então a fatoração é
No nosso caso, as raízes são e :
3. Desmembre a função racional em frações parciais com constantes nos numeradores.
4. Faça o MMC, iguale os numeradores e agrupe as constantes.
Passo 3
5. Resolva o sistema para achar as constantes.
Usando em :
6. Substitua as constantes e prepare para integrar.
Passo 4
7. Calcular as integrais
(Usamos que )
Obs: Essa questão também poderia ter sido respondida por substituição.
Substituindo na integral:
Fazendo uma nova substituição:
Ficamos com: