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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 5c

Calcule a integral por frações parciais:

∫ 3 4   x + 3 ( x - 1 ) 2 d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de ∫ 3 4   x + 3 ( x - 1 ) 2 d x

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é calcular ∫ 3 4   x + 3 ( x - 1 ) 2 d x . Como podemos começar? O que vocês acham?

Vamos começar reescrevendo nossa integral da seguinte forma:

∫ 3 4   x + 3 ( x - 1 ) 2 d x = ∫ 3 4   x ( x - 1 ) 2 d x   +   ∫ 3 4   3 ( x - 1 ) 2 d x  

A última integral é conhecida. É uma polinomial de grau negativo, mas a primeira não conhecemos!!!

Vamos lembrar que podemos reescrever como m x   +   n   ( x - a ) 2   = A x - a   +   B ( x - a ) 2   . Então vamos obter A   e   B   para reescrever nossa integral da seguinte forma:

∫   x ( x - 1 ) 2 d x   =   ∫   A ( x - 1 ) d x   +     ∫   B ( x - 1 ) 2 d x

Passo 3

Queremos que:

x ( x - 1 ) 2 = A ( x - 1 )   + B ( x - 1 ) 2  

então

x ( x - 1 ) 2 = A ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x - 1 )   + B ( x - 1 ) 2  

desenvolvendo temos

x   =   A x   -   A   +   B

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

A x   =   x ⇒ A   =   1

- A + B   =   0

Ou seja, temos um sistema de equações em A   e   B . Vamos resolver!!!

A   = 1

- A + B   =   0

Substituindo na segunda equação temos:

- 1 + B   =   0

⇒ B   =   1

⇒ A   =   1

Agora que temos A   e   B podemos reescrever nossa integral!!!

Passo 4

Usando os valores de calculados no passo anterior temos:

∫   x ( x - 1 ) 2 d x   =   ∫   A ( x - 1 ) d x   +     ∫   B ( x - 1 ) 2 d x

(substituindo A e B)

= ∫   1 ( x - 1 ) d x + ∫   1 ( x - 1 ) 2 d x

mas essas integrais são conhecidas, uma é o famoso ln e a outra é uma polinomial com expoente negativo!!! Então:

∫   x ( x - 1 ) 2 d x   = l n ( x - 1 )   -   1 x - 1   +   k

Agora que temos nossa integral imprópria só nos resta calcular para os limites de integração x = 3   a t é   x = 4 , então

∫ 3 4   x ( x - 1 ) 2 d x   = l n ( x - 1 )   -   1 x - 1   | x = 4 x = 3

= l n ( 4 - 1 )   -   1 4 - 1   -   ( l n ( 3 - 1 )   -   1 3 - 1 )

= l n ( 3 ) - l n ( 2 )   -   1 3   +   1 2

simplificando

= l n ( 3 / 2 ) +   1 6  

Passo 5

Agora precisamos somar o resultado do passo anterior com ∫ 3 4   3 ( x - 1 ) 2 d x , pois queremos calcular

∫ 3 4   x + 3 ( x - 1 ) 2 d x = ∫ 3 4   x ( x - 1 ) 2 d x   +   ∫ 3 4   3 ( x - 1 ) 2 d x

Bem,

  ∫ 3 4   3 ( x - 1 ) 2 d x   =     3 ∫ 3 4   1 ( x - 1 ) 2 d x

Mas já vimos no passo anterior que integral é essa então:

∫ 3 4   3 ( x - 1 ) 2 d x   =     3 ∫ 3 4   1 ( x - 1 ) 2 d x

calculando a integral

=     - 3 1 x - 1 | x = 3 x = 4

substituindo os valores de x

= - 3 ( 1 3 - 1 2 )

= 1 / 2

Então ∫ 3 4   x + 3 ( x - 1 ) 2 d x = ∫ 3 4   x ( x - 1 ) 2 d x   +   ∫ 3 4   3 ( x - 1 ) 2 d x   =   l n ( 3 / 2 ) +   1 6   +   1 / 2

= l n ( 3 / 2 ) +   4 6

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

l n ( 3 / 2 ) +   4 6

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