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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 16

Mostre que

16 ∫ 0 1 ( x - 1 ) x 4 - 2 x 3 + 4 x - 4 d x   =   π

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez uma questão para mostrarmos que uma igualdade vale.

Queremos mostrar que

16 ∫ 0 1 ( x - 1 ) x 4 - 2 x 3 + 4 x - 4 d x   =   π

E aí, por onde começamos?

Não tem como fugir, precisamos resolver a integral!!!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo nossa integral

16 ∫ 0 1 ( x - 1 ) x 4 - 2 x 3 + 4 x - 4 d x = 16 ∫ 0 1 ( x - 1 ) x 4 - 4   - 2 x 3 + 4 x d x

= 16 ∫ 0 1 ( x - 1 ) ( x 2 - 2 ) ( x 2 + 2 ) - 2 x ( x 2 - 2 ) d x

colocando em evidência temos:

16 ∫ 0 1 ( x - 1 ) ( x 2 - 2 ) ( x 2 + 2 - 2 x ) d x

Agora podemos usar frações parciais para escrever nossa integral da seguinte forma:

16 ∫ 0 1 ( x - 1 ) ( x 2 - 2 ) ( x 2 + 2 - 2 x ) d x = 16 ∫ 0 1 A ( x + 2 ) + B ( x - 2 ) + C + D x x 2 + 2 - 2 x d x

Para isso temos que

A   = 1 / 8  

B   = - 1 / 8  

C   = 2 / 4  

D   = - 1 / 4  

Passo 3

Usando os valores de A , B , C ,   e   D temos que:

16 ∫ 0 1 ( x - 1 ) ( x 2 - 2 ) ( x 2 + 2 - 2 x ) d x = 16 ∫ 0 1 A ( x + 2 ) + B ( x - 2 ) + C + D x x 2 + 2 - 2 x d x

= 16 ∫ 0 1 1 / 8 ( x + 2 ) + 1 / 8 ( x - 2 ) + 1 4 * 2 - x x 2 + 2 - 2 x d x

Mas algumas dessas integrais são conhecidas!!!! Temos:

16 ∫ 1 / 8 ( x + 2 ) + 1 / 8 ( x - 2 ) + 1 4 * 2 - x x 2 + 2 - 2 x d x

2 ( l n ( | x + 2 | ) + l n ( | x - 2 | ) ) + 4 ∫ 2 - x x 2 + 2 - 2 x d x

Agora só nos resta calcular

4 ∫ 2 + x x 2 + 2 - 2 x d x

Vamos reescrever a integral da seguinte forma:

= 4 ∫ 1 x 2 + 2 - 2 x - 1 2 2 x - 2 x 2 + 2 - 2 x d x

fizemos isso para forçar aparecer um log no resultado da integral

Passo 4

Vamos resolver essas integrais. Sabendo que

d d x t g - 1 ( x )   =   1 x 2 + 1

então

∫ 1 x 2 + 2 - 2 x d x = t g - 1 ( 1 - x )

Agora só falta calcularmos

- 4 ∫ 1 2 2 x - 2 x 2 + 2 - 2 x d x   = - 2 ∫ 2 x - 2 x 2 + 2 - 2 x d x  

fazendo u   =   x 2 - 2 x ⇒ d u   =   ( 2 x - 2 ) d x . Logo

- 2 ∫ 2 x - 2 x 2 + 2 - 2 x d x = - 2 ∫ d u u + 2

resolvendo

- 2 ∫ d u u + 2 = - 2 l n ( | u + 2 | )

voltando para a variável original temos

2 ∫ 2 x - 2 x 2 + 2 - 2 x d x =   - 2 l n ( | x 2 - 2 x + 2 | )

Passo 5

Agora podemos juntar as integrais que calculamos nos passos 3 e 4. para obter a integral de interesse. Então temos:

16 ∫ ( x - 1 ) x 4 - 2 x 3 + 4 x - 4 d x = 2 ( l n ( | x + 2 | ) + l n ( | x - 2 | ) ) + 4 ∫ 2 - x x 2 + 2 - 2 x d x

= 2 ( l n ( | x + 2 | ) + l n ( | x - 2 | ) ) + 4 t g - 1 ( 1 - x ) - 2 l n ( | x 2 - 2 x + 2 | )

simplificando temos:

2 ( l n ( | x 2 - 2 | ) ) + 4 t g - 1 ( 1 - x ) + 2 l n ( | x 2 - 2 x + 2 | )

Aplicando o intervalo de integração temos:

2 ( l n ( | x 2 - 2 | ) ) + 4 t g - 1 ( 1 - x ) + 2 l n ( | x 2 - 2 x + 2 | ) | x = 1 x = 0

=   4 t g - 1 ( 1 )     =   π

Prontinho, pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Essa deu um baita trabalho, mas conseguimos fazer!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

desenvolvimento acima

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