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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 5g

Calcule a integral por frações parciais:

∫   x 4 + x + 1 x 3 - x d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de ∫   x 4 + x + 1 x 3 - x d x

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é calcular ∫   x 4 + x + 1 x 3 - x d x . Como podemos começar a provar isso? O que vocês acham?

Primeiro, vamos fazer a divisão polinomial para podermos escrever x 4 + x + 1 x 3 - x de uma forma mais vantajosa:

Após fazer a divisão, obtemos o seguinte resultado

  x 4 + x + 1 x 3 - x = x   +   x 2 + x + 1 x 3 - x  

Vish, parece até que ficou pior. Mas tenha calma jovem. Ainda podemos fazer mais coisa!!!

x   +   x 2 + x + 1 x 3 - x = x + x 2 x 3 - x   +   x + 1 x 3 - x  

colocando x em evidência no denominador

= x + x 2 ( x 2 - 1 ) x   +   x + 1 x ( x 2 - 1 )

= x + x 2 ( x 2 - 1 ) x   +   x + 1 x ( x - 1 ) ( x + 1 )

Simplificando

= x + x ( x 2 - 1 )   +   1 x ( x - 1 )

Chegamos em algo mais simples de calcular!!!!

Passo 3

No passo anterior, vimos que

∫   x 4 + x + 1 x 3 - x d x   =   ∫ x + x ( x 2 - 1 )   +   1 x ( x - 1 ) d x

Vamos resolver essas integrais!!

∫ x d x   =   1 2 x 2

(fazendo u   =   x 2 - 1   ⇒ d u   =   2 d x )

∫ x ( x 2 - 1 ) d x = ∫ 1 2 d u u

1 2 l n ( u )   = 1 2 l n ( x 2 - 1 )  

Por último, precisamos calcular ∫ 1 x ( x - 1 ) d x

Para isso, vamos lembrar que podemos escrever 1   x ( x - 1 )   = A x - 1   +   B x   . Então vamos obter A   e   B   .

1   x ( x - 1 )   = A x - 1   +   B x

⇒ 1   x ( x - 1 )   = A x ( x - 1 ) x   +   B ( x - 1 ) x ( x - 1 )

desenvolvendo temos

1   =   A x + B x - B

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

A x + B x   =   0 ⇒ A   +   B = 0

- B = 1  

Ou seja, temos um sistema de equações em A   e   B   . Vamos resolver!!!

- B = 1  

A   +   B = 0

Substituindo na segunda equação temos:

A = 1

⇒ B = - 1

Agora que temos A   e   B podemos reescrever nossa integral!!!

Passo 4

Usando os valores de calculados no passo anterior temos:

  ∫ 1 x ( x - 1 ) d x   = ∫ 1 x - 1   -   1 x d x    

Mas essas integrais são manjadas. É o famoso l n . Então

  ∫ 1 x ( x - 1 ) d x = l n ( x - 1 )   -   l n ( x )

Juntando tudo obtemos

∫   x 4 + x + 1 x 3 - x d x   =   ∫ x + x ( x 2 - 1 )   +   1 x ( x - 1 ) d x

= 1 2 x 2 + 1 2 l n ( x 2 - 1 )   + l n ( x - 1 )   -   l n ( x ) + k

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

1 2 x 2 + 1 2 l n ( x 2 - 1 )   + l n ( x - 1 )   -   l n ( x ) + k

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