UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 11 – Integrais Impróprias – Questão 2 – Alternativa l)
Calcule:
Passo 1
Eaew, belezinha?
Para esta integral vai ser legal tentarmos simplificar o integrando de forma a identificar alguma coisa que é um pouco mais simples! Existem várias maneiras de fazer isso, mas, é uma boa ideia tentar inicialmente escrever o denominador do integrando como um produto de dois termos! Bora lá!
Passo 2
A primeira coisa a se notar é que:
De forma que nossa integral toma a forma:
Esse formato é bastante conveniente para a utilização do método de frações parciais! Bora fazer isso!
Passo 3
O nosso denominador é um produto de dois polinômios de primeiro grau, portanto podemos reescrevê-lo como:
Em que e são polinômios de grau 0 (constantes hehehe). Vamos fazer o MMC do lado direito da equação acima, obtendo:
Note que o lado esquerdo e o lado direito têm o mesmo denominador, portanto, para a equação ser verdade, os numeradores devem ser iguais, ou seja:
Bora utilizar essa expressão para achar nossas constantes!
Passo 4
Para que a igualdade seja verdadeira, os coeficientes do em ambos os lados da equação devem ser iguais, assim como os termos constantes, temos então que:
E
Da primeira equação, , e usando isso na segunda equação, temos:
E, portanto, . Desta forma, nossa integral toma a seguinte forma:
Vamos tentar resolver isso agora que estão um pouquinho mais simples! Bora lá!
Passo 5
A primeira coisa seria dividir elas em mais termos, temos que:
As duas últimas integrais estão em um bom formato para serem resolvidas, então vamos trabalhar um pouco com as duas primeiras!
Passo 6
Vamos tentar fazer a seguinte substituição , ou seja, e , desta forma:
Todas estas integrais são resolvíveis! Vamos fazer algo análogo para a segunda integral. Só que agora usaremos , e , temos que:
Vamos resolver estas integrais!
Passo 7
Temos que:
Também
E
De forma que utilizando os corretos para cada integral, obtemos:
E, também:
Vamos guardar este resultado por enquanto! E vamos resolver as duas integrais que faltam na equação (1).
Passo 8
Nos restou duas integrais, elas são bem diretas, se utilizarmos e , temos que:
E para a outra integral, e , temos:
Usando (2), (3), (4) e (5), na equação (1), temos:
Isso pode ser bastante simplificado utilizando propriedades do logaritmo e expandindo termos, considero suficiente deixar como:
A constante de integração absorverá um constante que surge durante a expansão. A questão é isso! Te vejo na próxima!