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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 10e

Use substituição para converter a integral abaixo em integral de funções racionais, e em seguida resolva a integral

∫ 1 x 1 / 2   +   x 1 / 3 d x

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez, queremos converter uma integral para outra que contenha somente funções racionais e depois resolvê-la. Nessa questão a nossa integral é

∫ 1 x 1 / 2   +   x 1 / 3 d x

Vamos começar fazendo uma transformação esperta

u   =   x 1 / 6 ⇒   d u   =   1 6 x - 5 / 6 d x . Então d x   =   6 u 5 d u . Logo

∫ d x x 1 / 2 + x 1 / 4 = ∫ 6 u 5 u 3 + u 2 d u

simplificando

∫ 6 u 3 u + 1 d u

Fazendo a divisão longa temos

= 6 ∫ ( u 2 - u + 1 )   -   1 u + 1 d u

Pronto, agora temos nossa integral na forma racional.

Passo 2

No passo anterior, chegamos a conclusão que

∫ 1 x 1 / 2   +   x 1 / 3 d x = 6 ∫ ( u 2 - u + 1 )   -   1 u + 1 d u

com u   =   x 1 / 6

Mas essas integrais são manjadas!!! Temos:

6 ∫ ( u 2 - u + 1 )   -   1 u + 1 d u = 6 ( u 3 / 3   -   u 2 / 2   + u -   l n ( | u + 1 | ) )

Retornando para a variável x , temos:

6 ( u 3 / 3   -   u 2 / 2   + u -   l n ( | u + 1 | ) ) =   6 ( x 1 / 2 / 3   -   x 1 / 3 / 2   + x 1 / 6 -   l n ( | x 1 / 6 + 1 | ) )

Então

∫ d x x 1 / 2 + x 1 / 4 =   6 ( x 1 / 2 / 3   -   x 1 / 3 / 2   + x 1 / 6 -   l n ( | x 1 / 6 + 1 | ) ) + C

Prontinho, pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Essa deu para trabalhar bem nossa habilidade de manipulação de frações!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

6 ( x 1 / 2 / 3   -   x 1 / 3 / 2   + x 1 / 6 -   l n ( | x 1 / 6 + 1 | ) ) + C

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