Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Olha, temos uma divisão entre dois polinômios. Um NÃO é derivada do outro. E o numerador tem grau menor. Sabe o que essas coisas querem dizer? Vamos ter que usar frações parciais. Respira e vem comigo!
A primeira coisa é reescrever esse denominador como um produto de polinômios. Repara que a gente pode isolar o ali para começar:
E a gente pode reescrever esse termo com grau 2 que ficou ali, usando uma fórmulinha:
Onde é o termo multiplicado por , no nosso caso . E e são as raízes do polinômio de grau 2:
As achando por Bhaskara
Nosso denominador fica:
Passo 2
Aí a nossa integral fica assim:
Usar frações parciais é fazer esse integrando virar uma soma de funções tranquilas de integrar assim:
Vamos então descobrir e . Partindo daqui:
Passo 3
A gente multiplica esse termo pelo denominador dos outros dois termos. Aí o faz o mesmo para e :
Fazendo a distributiva:
Agora a gente faz um sisteminha. O único termo sozinho (sem ) do lado esquerdo é o e do lado direito é o . Podemos igualar esses dois caras:
Fazendo o mesmo só para os termos multiplicados por em cada lado:
E a gente vê que do lado esquerdo não tem termo elevado ao quadrado, então a gente diz que tem um do lado esquerdo. E do lado direito os termos multiplicado por são e :
Aí a gente tem um sisteminha:
Vamos multiplicar a segunda equação por e somar as duas:
Como todas essas letrinhas achadas finalmente, a gente reescreve nossa integral:
Passo 4
Agora a gente resolve essa bonita:
Resolvendo cada integral e depois somando:
Fazendo a substituição :
A terceira:
Fazendo a substituição :
Substituindo nossos resultados:
Não esquecendo ali da constante, já que temos uma integral indefinida!