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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 5e

Calcule a integral por frações parciais:

∫   x 2 + 2 x 2 - 4 d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de ∫   x 2 + 2 x 2 - 4 d x

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é calcular ∫   x 2 + 2 x 2 - 4 d x . Como podemos começar? O que vocês acham?

Primeiro, vamos separar essa integral em duas integrais. Temos:

∫   x 2 + 2 x 2 - 4 d x   =   ∫   x 2 x 2 - 4 d x + ∫   2 x 2 - 4 d x

Vamos começar resolvendo a ∫   2 x 2 - 4 d x . Para isso, vamos lembrar que podemos reescrever como m x   +   n   x 2 - a 2   = A x - a   +   B x + a   . Então vamos obter A   e   B   para reescrever nossa integral da seguinte forma:

∫   2 x 2 - 2 2 d x   =   ∫ A x - 2   d x   +     ∫ B x + 2 d x

Passo 3

Queremos que:

2 x 2 - 2 2 = A x - 2   + B x + 2  

então

2 x 2 - 2 2 = A ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )   + B ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )  

desenvolvendo temos

2   =   A x   + 2 A   +   B x   -   2 B

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

A x + B x   =   0 ⇒ A   =   - B

2 A - 2 B   =   2

Ou seja, temos um sistema de equações em A   e   B . Vamos resolver!!!

A   =   - B

2 A - 2 B   =   2

Substituindo na segunda equação temos:

2 ( - B ) - 2 B   =   2

⇒ B   =   - 1 / 2

⇒ A   =   1 /2

Agora que temos A   e   B podemos reescrever nossa integral!!!

Passo 4

Usando os valores de calculados no passo anterior temos:

∫   2 X 2 - 2 2 d x   = ∫   A ( x + 2 ) d x   +     ∫   B ( x - 2 ) d x

(substituindo A e B)

= 1 2 ∫   1 x - 2 d x   - 1 2 ∫   1 x + 2 d x

Mas essas integrais são manjadas. É o famoso l n , ou seja,

1 2 ∫   1 x - 2 d x   - 1 2 ∫   1 x + 2 d x = 1 2 l n ( x - 2 )   -   1 2 l n ( x + 2 )  

Na nossa integral original fica:

  ∫   x 2 + 2 x 2 - 4 d x   =   ∫   x 2 x 2 - 4 d x + ∫   2 x 2 - 4 d x

substituindo o resultado acima

=   ∫   x 2 x 2 - 4 d x +   1 2 l n ( x - 2 )   -   1 2 l n ( x + 2 )

Agora só nos resta calcular a ∫   x 2 x 2 - 4 d x !!!!

Passo 5

Depois de realizarmos algumas simplificações, chegamos a conclusão que

∫   x 2 + 2 x 2 - 4 d x =     ∫   x 2 x 2 - 4 d x +   1 2 l n ( x - 2 )   -   1 2 l n ( x + 2 )  

Agora só precisamos calcular ∫   x 2 x 2 - 4 d x . Mas como vamos fazer isso? Vamos fazer a divisão polinomial. Assim descobrimos que:

∫     x 2 x 2 - 4 d x =   ∫ 1   + 1 x - 2   - 1 x + 2 d x

mas essas integrais são conhecidas!!!

= x   +   l n ( x - 2 ) - l n ( x + 2 )

Passo 6

Juntando tudo obtemos:

∫   x 2 + 2 x 2 - 4 d x =     ∫   x 2 x 2 - 4 d x +   1 2 l n ( x - 2 )   -   1 2 l n ( x + 2 )  

=   x   +   l n ( x - 2 ) - l n ( x + 2 )   +     1 2 l n ( x - 2 )   -   1 2 l n ( x + 2 )  

=   x   +   3 2 l n ( x - 2 ) - 3 2 l n ( x + 2 )     + k

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

x   +   3 2 l n ( x - 2 ) - 3 2 l n ( x + 2 )     + k

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