Integração por Frações Parciais
Calcule a integral abaixo:
Passo 1
Maior cara de decomposição por frações parciais. Arrumando o denominador por produto notável:
Mais uma vez produto notável:
Show. Agora temos todos os termos irredutíveis. Podemos fazer frações parciais da seguinte maneira:
Passo 2
Passando o pro outro lado, igualamos os polinômios:
Terrível... Porém podemos substituir alguns valores de para facilitar as contas, pois a igualdade acima deve valer para todos os valores de . Boas substituições são as raízes do denominador pois elas zeram vários termos. As raízes são e . Você pode substituir elas ou qualquer outro valor. Outra boa é o , porque sempre zera várias coisas também.
Fazendo :
Perfeito?
Passo 3
Fazendo , que é outra raiz:
Passo 4
Show de bola. Agora você pode substituir o ou valores complexos mesmo... Vai da sua cabeça. Eu vou com os complexos porque zeram . Fazendo :
Temos uma relação entre e . Fazendo outra substituição teremos um sistema linear.
Passo 5
Seja :
Juntando as duas equações:
Somando ambas, temos:
Passo 6
Substituindo em qualquer uma delas (ou simplesmente observando que o só pode ser zero mesmo):
Portanto temos a decomposição:
Plugando na integral:
Fazendo a distributiva e integrando:
Se quiser pode arrumar esse logaritmo, mas na real tanto faz.