UFABC. Cálculo. Funções de Uma Variável. Lista 10 – Técnicas de Integração II. 2018.3. Questão 3a.
3 — Usando que
calcule as seguintes integrais:
a)
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Para essa questão, temos que calcular
Mas temos um problema, a integral do produto de senos! Como calculamos isso?? Essa integral não é nada trivial, não é? 🤔
Para solucionar esse nosso probleminha, o enunciado foi caridoso e nos disse que podemos escrever o produto de senos como
Comparando nossa função com , vemos que e . Com isso, podemos escrever
Fazendo essa adaptação, o calculo da integral ficou mais tranquilo. Ao invés de ter uma integral que não sabemos qual é o resultado, temos duas integrais que os resultados estão praticamente na nossa rotina.
Partiu calcular essas integrais?
Passo 2
Primeiro vamos calcular a integral
A constante não altera o resultado da integral, então podemos tira-la para fora
Quando temos uma função de contida dentro de outra função trigonométrica, usamos o método de substituição .
Consideramos a função que está contida como e calculamos sua derivada , veja só
Nosso será , derivando , temos
Isolamos em um lado da equação e obtemos
Substituímos por e por na integral, temos
Também podemos tirar da integral e sabemos que a integral do cosseno é o seno, logo
Por fim, substituímos por para devolver a variável do resultado
Está acompanhando?
Passo 3
Agora vamos calcular a outra integral
Assim como a integral anterior, podemos tirar a constante para fora e substituir por e derivando , temos
Isolando em um lado da igualdade
Substituindo por e por , temos
Podemos tirar a constante para fora e como vimos antes, a integral do cosseno é igual a seno, ou seja
Voltando a variável para o lugar dela, substituímos por
Algum mistério?
Passo 4
Por fim, precisamos apenas substituir os resultados na nossa integral lá do início, lembra?
Onde encontramos
Resultando em
Viu como ficou mais tranquilo depois que substituímos o produto dos senos pela sua equivalência?
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
