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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Integração por Frações Parciais

Calcular:

c ∫ x 2 + 5 x + 4 x 2 - 2 x + 1 d x

Passo 1

Primeira coisa, temos polinômios ali que não parecem com nenhum tipo de integral à primeira olhada. Vamos primeiro abri-los para ver como ficariam em forma de produto de polinômios do primeiro grau (é a hora de usar Bhaskara):

x 2 + 5 x + 4 = ( x + 4 ) ( x + 1 )

x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2

Como a gente percebe agora, não daria para cortar nenhum termo de cima com o debaixo, então vamos fazer uma divisão polinomial para deixar o termo mais fácil de trabalhar.

∫ x 2 + 5 x + 4 x 2 - 2 x + 1 d x = ∫ x 2 - 2 x + 1 + ( 2 x - 1 ) + 5 x + 4 x 2 - 2 x + 1 d x

= ∫ 1 + ( 7 x + 3 ) x 2 - 2 x + 1 d x

= ∫ 1 + ( 7 x + 3 ) x - 1 2 d x

Agora a parada é utilizar frações parciais, é a melhor saída. Ela é caracterizada justamente por uma divisão de polinômios, o que é o caso!

Passo 2

Vamos então abrir o termo da divisão polinomial:

( 7 x + 3 ) x - 1 2 = A x - 1 + B x - 1 2

( 7 x + 3 ) x - 1 2 = A x - 1 + B x - 1 2 = A x + ( B - A ) x - 1 2

Vamos resolver o sisteminha aí:

A = 7 B - A = 3

A = 7   ;   B = 10

Vamos escrever a integral então:

∫ 1 + 7 x + 3 x - 1 2 d x = ∫ 1 + 7 x - 1 + 10 x - 1 2 d x

Passo 3

A partir daí conseguimos fazer todas as integrais por substituição simples:

u = x - 1 → d u = d x

∫ 1 + 7 x - 1 + 10 x - 1 2 d x = ∫ 1 d x + ∫ 7 x - 1 + 10 x - 1 2 d x

= x + ∫ 7 u + 10 u 2 d u + C

= x + 7 ln ⁡ u - 10 u + C

= x + 7 ln ⁡ ( x - 1 ) - 10 ( x - 1 ) + C

Resposta

∫ x 2 + 5 x + 4 x 2 - 2 x + 1 d x = x + 7 ln ⁡ ( x - 1 ) - 10 ( x - 1 ) + C

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