UFABC. Cálculo. Funções de Uma Variável. Lista 10 – Técnicas de Integração II. 2018.3. Questão 2c.
2 - Usando a técnica do exercício anterior calcule:
c) .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Para essa questão não tem muito lero-lero, ela foi bem direta com a gente.
Temos que calcular a integral de pelos limites de integração de a .
O segredo está na técnica que vamos usar para calcular essa integral.
Esta técnica é na verdade uma propriedade da trigonometria que diz que podemos escrever o produto entre senos e cossenos como
Beleza! Mas se é a mesma coisa, qual a diferença entre usar um ou outro?? 🤔🤔
A diferença está na facilidade que vamos ter para calcular a integral.
A integral do produto entre seno e cosseno não é muito trivial, mas a integral do seno está na ponta da língua. Ou seja
Resolvendo a distributiva de e as operações dentro dos senos, temos
Com isso a integral que antes era complicada, agora é
Entendeu? Bora calcular essas integrais!
Passo 2
Primeiro calculamos a integral
Primeiro calculamos a integral e depois substituímos o intervalo de integração
Podemos tirar a constante para fora da integral
Nesses casos, quando temos uma função contida dentro de outra função, usamos o método de substituição . Onde substituímos a função contida dentro da outra por e derivamos para encontrar . Por exemplo
Substituímos por , então
Isolando em um lado da equação, temos
Voltamos para a integral e substituímos por e por .
Podemos tirar a constante para fora da integral.
Como sabemos, a integral do é igual a , ou seja
Por último, devolvemos a variável substituindo por .
Aplicando os limites de integração em , temos
e , substituindo esses valores, temos
Tranquilo até aqui?
Passo 3
A outra integral é dada como
Neste caso, não precisamos fazer a substituição , apenas tiramos a constante para fora da integral e a calculamos
Aplicando os limites de integração em , temos
e , substituindo esses valores na equação acima, temos
Ta fácil?
Passo 4
Por fim, substituímos os valores que calculamos para cada integral onde
Lembre-se da nossa receitinha quando temos que usar o método de substituição
1°: substituímos a função que está contida dentro da outra função por .
2°: calculamos e isolamos de um lado da igualdade.
3°: substituímos e , calculamos a integral.
4°: depois da integral calculada, substituímos pela função inicial.
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
