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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 6c

Use a decomposição de fração parcial (ou uma técnica mais simples) para expressar a função racional abaixo como uma soma ou diferença de duas ou mais expressões racionais mais simples.

3 x 4   +   x 3   + 20 x 2   +   3 x   +   3 ( x + 1 ) ( x 2   +   4 ) 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de decomposição de fração parcial. Queremos simplificar a expressão 3 x 4   +   x 3   + 20 x 2   +   3 x   +   3 ( x + 1 ) ( x 2   +   4 ) 2

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é decompor 3 x 4   +   x 3   + 20 x 2   +   3 x   +   3 ( x + 1 ) ( x 2   +   4 ) 2 em combinação de frações mais simples . Como podemos começar? O que vocês acham?

Primeiro, vamos tentar escrever a nossa fração da seguinte forma

3 x 4   +   x 3   + 20 x 2   +   3 x   +   3 ( x + 1 ) ( x 2   +   4 ) 2 =   A x + 1 + B ( x 2 + 4 ) + C x 2 + 4

Para isso iremos obter A   e   B   e   C   . Temos:

3 x 4   +   x 3   + 20 x 2   +   3 x   +   3 ( x + 1 ) ( x 2   +   4 ) 2 =   A x + 1 + B ( x 2 + 4 ) + C ( x 2 + 4 ) 2

desenvolvendo

3 x 4   +   x 3   + 20 x 2   +   3 x   +   3 ( x + 1 ) ( x 2   +   4 ) 2 =   A ( x 2 + 4 ) 2 ( x 2 + 4 ) 2 ( x + 1 ) + B ( x + 1 ) ( x 2 + 4 ) ( x 2 + 4 ) 2   ( x + 1 ) + C ( x + 1 ) ( x 2 + 4 ) 2 ( x + 1 )

realizando a multiplicação

3 x 4   +   x 3   + 20 x 2   +   3 x   +   3   =   A x 4   +   A 8 x 2   + 16 A   + B x 3   + 4 B x +   B x 2   + 4 B   +   C x   + C

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

A 8 x 2 + B x 2   =   20 x 2 ⇒ 8 A   +   B = 20

B x 3   =   x 3 ⇒ B = 1  

A x 4   =   3 x 4 ⇒   A = 3

C x   + 4 B x   =   3 x ⇒   C + 4 B = 3

C + 4 B = 3

Ou seja, temos um sistema de equações em A   e   B   e   C . Vamos resolver!!!

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações em A   e   B   e   C que montamos no passo anterior

B = 1  

A = 3

  C + 4 B = 3

Substituindo na terceira equação temos:

  C + 4 = 3

  ⇒ C = - 1

Agora podemos escrever nossa fração de forma simplificada

3 x 4   +   x 3   + 20 x 2   +   3 x   +   3 ( x + 1 ) ( x 2   +   4 ) 2 =   A x + 1 + B ( x 2 + 4 ) + C ( x 2 + 4 ) 2

=   3 x + 1 + 1 ( x 2 + 4 ) - 1 ( x 2 + 4 ) 2

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

3 x + 1 + 1 ( x 2 + 4 ) - 1 ( x 2 + 4 ) 2

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