Calcule a integral
Passo 1
Não sei você mas essa integral pra mim é de assustar. Mas relaxa, vamos com calma. Primeira coisa que temos que ver é que tem muitos termos repetidos. Por exemplo, podemos reescrever a integral dessa forma:
E assim, sobra dentro do colchetes somente termos com , o que é uma coisa boa se lembrarmos que:
Então vamos tentar a substituição simples:
A nossa integral fica:
Passo 2
Agora pra resolver a integral que sobrou, que é toda em função de temos que usar as famosas e queridas frações parciais, beleza? Isso porque quando a gente consegue escrever na forma de frações parciais a integral já sai direto!
Vamos então achar as raízes do denominador pra gerar as frações. O denominador é:
Logo suas raízes vão ser:
Reescrevemos então o denominador para:
E a integral fica:
Revertendo a substituição simples, ficamos com:
Vai faltar só achar quem é e
Passo 3
Pra achar e , vamos lembrar do seguinte:
Multiplicando a fração que contém por e a que contem por , ficamos com:
Cortando os denominadores e aplicando a distributiva:
Reorganizando:
E organizado dessa forma, se compararmos os coeficientes dos dois polinômios de primeiro grau acima, em função de u, que estão sendo igualados, obtemos esse sistema de equações esperto aqui:
Multiplicando a primeira linha por 2:
Somando as duas linhas:
Mas como , e , teremos então que . Fechamos nossa questão! O resultado final vai ser: