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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Integração por frações parciais

Calcule a integral indicada, fazendo uma substituição do tipo x = y n

∫ 2 x 1 + x 3 d x

Passo 1

Essa integral é deveras complexa hein, como será que podemos facilitar nossa vida? Olha a sugestão que ele deu, fazer aquela substituição serve para o que? Bem vai ajudar a tirar aquelas raízes da integral. A pergunta agora é: Qual valor de n devemos escolher!

Temos uma raiz cúbica e uma raiz quadrada, então esse n deve ser tal que tira as duas raízes, qual potência tem raiz cúbica e quadrada ao mesmo tempo? n = 6 , beleza?

Vamos fazer a substituição

x = y 6

E agora podemos aplicar o nosso passo a passo

Passo 2

Primeiro escolhemos a substituição

x = y 6

Calculamos sua diferencial

d x = 6 y 5 d y

Deixamos igual como está na integral. Neste caso já está igual.

Substituímos a integral

∫ 2 x 1 + x 3 d x = ∫ 2 y 6 1 + y 6 3 6 y 5 d y

∫ 2 y 3 1 + y 2 6 y 5 d y = ∫ 12 y 8 1 + y 2 d y

Caímos em uma equação que normalmente resolvemos por frações parciais, então vamos aplicar o seu passo a passo

Passo 3

Vamos ver os graus dos polinômios para ver se precisamos dividir essa fração antes de aplicar frações parciais

12 y 8 1 + y 2 ⇒ g r a u   8 g r a u   2

Como o grau de cima está maior que o grau de baixo, vamos precisar fazer a divisão.

Começamos dividindo o termo com x com maior expoente do numerador pelo termo com x com maior expoente do denominador:

12 y 8 y 2 = 12 y 6

Depois, multiplicamos a resposta pelo denominador:

12 y 6 ⋅ y 2 + 1 = 12 y 8 + 12 y 6

Depois, diminuímos o numerador pelo resultado obtido acima:

12 y 8 - 12 y 8 + 12 y 6 = - 12 y 6

Chegamos a uma nova divisão:

12 y 8 1 + y 2 = 12 y 6 - 12 y 6 y 2 + 1

Vamos colocar os termos que forem saindo de cada parte dessa divisão, de forma um pouco mais rápida, fizemos antes só para lembrar o método.

- 12 y 6 y 2 + 1 = - 12 y 4 + - 12 y 6 - - 12 y 4 y 2 + 1 y 2 + 1   = - 12 y 4 + 12 y 4 y 2 + 1

12 y 4 y 2 + 1 = 12 y 2 + 12 y 4 - 12 y 2 y 2 + 1 y 2 + 1 = 12 y 2 - 12 y 2 y 2 + 1

- 12 y 2 y 2 + 1 = - 12 + - 12 y 2 - - 12 y 2 + 1 y 2 + 1 = - 12 + 12 y 2 + 1

Vamos agora juntar tudo

12 y 8 1 + y 2 = 12 y 6 - 12 y 4 + 12 y 2 - 12 + 12 y 2 + 1

Passo 4

Vamos voltar para a integral, dessa vez não precisamos escrever as frações parciais porque o denominador já é um polinômio irredutível.

∫ 12 y 8 1 + y 2 d y = ∫ 12 y 6 - 12 y 4 + 12 y 2 - 12 + 12 y 2 + 1 d y

∫ 12 y 6 - 12 y 4 + 12 y 2 - 12 + 12 y 2 + 1 d y = 12 y 7 7 - 12 y 5 5 + 12 y 3 3 - 12 y + 12 arctan ⁡ y + C =

12 y 7 7 - 12 y 5 5 + 4 y 3 - 12 y + 12 arctan ⁡ y + C

Precisamos desubstituir o valor de y agora, lembra que

x = y 6

Então

y = x 1 / 6

Desubstituindo vai ficar

12 x 1 / 6 7 7 - 12 x 1 / 6 5 5 + 4 x 1 / 6 3 - 12 x 1 / 6 + 12 arctan ⁡ x 1 / 6 + C

12 x 7 / 6 7 - 12 x 5 / 6 5 + 4 x 1 / 2 - 12 x 1 / 6 + 12 arctan ⁡ x 1 / 6 + C

Resposta

12 x 7 / 6 7 - 12 x 5 / 6 5 + 4 x 1 / 2 - 12 x 1 / 6 + 12 arctan ⁡ x 1 / 6 + C

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