UTFPR – Cálculo I – Atividade Avaliativa 3 (AV3) – Parte 1 – 2022.2 – Questão 7.
- Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Partiu resolver mais uma questão pra arrasar na prova?
Bom, vamos primeiro entender o enunciado da questão. Ele está querendo que a gente resolva a integral dessa função aí. Mas essa não é uma função qualquer, ela e em feia na verdade, e não conseguimos resolvê-la pelos métodos mais simples diretamente. O jeito será melhorar a cara dessa função pra ver se fica melhor pra integrar.
Vamos fazer isso dividindo o polinômio que está no numerador pelo que está no denominador e depois abrindo essa função em frações parciais.
Vem comigo ver como fica.
Passo 2
A integral que precisamos resolver é:
A divisão de
Por
Não é exata. Ela dará
terá um polinômio resto
Assim, nossa integral se torna:
Veja que isso ainda não resolveu nosso problema, então vamos precisar usar frações parciais para trabalhar com essa fração feiosa que ainda está aí.
Passo 3
Vamos abrir em frações parciais
Podemos escrever
Assim:
Que pode ser escrito como:
Tirando o m.m.c. entre e , ficamos com:
Fazendo a distributiva:
Agora comparando as duas frações, podemos fazer a redução a termos semelhantes
E montamos o sistema abaixo:
Resolvendo o sistema, vamos encontrar
E as frações parciais se tonam:
Show, agora precisamos encaixar tudo isso lá na nossa integral.
Passo 4
Organizando a integral, ficamos com
E separando cada parcela, ficamos com:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Começando com:
Passo 6
Agora
Passo 7
E para
Teremos que fazer uma substituição simples, fazendo
A integral se torna:
Voltando para a variável , teremos:
Passo 8
Para a integral
O denominador pode ser transformado completando quadrados da seguinte forma:
E a integral se torna:
Usando a substituição simples, fazemos:
O que transforma a integral em:
Para a primeira fazemos outra substituição simples que irá resultar em:
E voltando pra fica:
Já a segunda é uma integral tabelada e seu valor é
Que voltando pra fica:
E assim montamos o resultado da terceira integral:
Passo 9
Por fim, vamos para a última integração
Completando quadrado, teremos:
E fazendo
Teremos:
Que vale:
Agora, basta juntar todos os resultados das integrais para ter nossa resposta
Passo 10
Organizando todos os resultados ficamos com:
Fazendo um último ajuste nessas duas últimas parcelas que são semelhantes e acrescentando a constante de integração , teremos:
E Depois de tudo isso, pega uma água, respira um pouco que você merece!!!
E, bora pra próxima!!!
😉