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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 10a

Use substituição para converter a integral abaixo em integral de funções racionais, e em seguida resolva a integral

∫ e x e 2 x   -   e x d x

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez, queremos converter uma integral para outra que contenha somente funções racionais e depois resolvê-la. Nessa questão a nossa integral é

∫ e x e 2 x   -   e x d x

Vamos começar fazendo a substituição u   =   e x ⇒ d u   =   e x d x

∫ e x e 2 x   -   e x d x = ∫ d u u 2   -   u

Chegamos à nossa expressão racional. Vamos resolvê la

Passo 2

Chegamos a conclusão que

∫ e x e 2 x   -   e x d x = ∫ d u u 2   -   u

Agora vamos desenvolver a integral em u

∫ d u u 2   -   u = ∫ d u u ( u - 1 )

desmembrando a fração temos:

∫ d u u ( u - 1 ) = ∫ - 1 / 2 u + 1 / 2 u - 1 d u

mas essas integrais são conhecidas, então tem-se que:

∫ - 1 / 2 u + 1 / 2 u - 1 d u   =   1 2 ( - l n ( u ) + l n ( u - 1 ) )

Passo 3

No passo anterior, chegamos a conclusão que

∫ e x e 2 x   -   e x d x = ∫ d u u 2   -   u

=   1 2 ( - l n ( | u | ) + l n ( | u - 1 | ) )

Agora vamos retornar a variável original x . Então como fizemos u   =   e x temos

  1 2 ( - l n ( u ) + l n ( | u - 1 | ) ) = 1 2 ( - l n ( e x ) + l n ( | e x - 1 | ) )

= 1 2 ( - x + l n ( | e x - 1 | ) ) + C

Prontinho, pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

1 2 ( - x + l n ( | e x - 1 | ) ) + C

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