4a) Calcule as seguintes primitivas/integrais definidas:
Passo 1
Vamos olhar bem pra essa integral: temos um polinômio de grau e um de segundo grau no denominador. Geralmente quando temos divisão de polinômios, uma boa estratégia é a gente tentar integração por frações parciais. E olha só, podemos por um em evidência!
Opa, isso já adianta nossa vida! Isso signficia que podemos reescrever a função no interior da integral para:
Onde são números a determinar. A integral vai ficar então:
E olha só, no final das contas ficamos com:
Que são duas integrais com resolução direta! A resposta vai ser:
Falta só determinar essas constantes então!
Passo 2
Pra acharmos , bora partir daqui:
Se colocarmos os dois lados no mesmo denominador, vamos ter:
E aplicando a distributiva e cortando o denominador de todos os termos, ficamos com
Agrupando os termos em comum, essa igualdade é equivalente a essa aqui ó:
Sendo assim, podemos montar o sistema:
O que nos faz concluir que:
Agora que encontramos é só substituir na resposta do passo anterior:
O que também pode ser escrito como: